习题七
1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);
D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).
解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；
点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.
2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0;
在yOz面上的点，x=0;
在zOx面上的点，y=0.
3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0;
y轴上的点，x=z=0;
z轴上的点，x=y=0.
4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1）s?(2) s?(3) s?(4) s?2?3?4?2222229 22?(?3)?(?4)?2229
2(1?2)?(0?3)?(3?4)?22267 (?2?4)?(1?2)?(3?3)?35. 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.
解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s0?sx?42?(?3)?5?5 222222(4?4)?(?3?0)?(5?0)?34 sy?sz?4?(?3?3)?5?22222241
4?(?3)?(5?5)?5.
6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则
(?4)?1?(7?z)?3?5?(?2?z)
222222解得 z?149
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即所求点为M（0，0，
149）.
7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.
证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：(a?b)?c?a?(b?c). 证明：利用三角形法则得证.见图7-1
图7-1
9. 设u?a?b?2c, v??a?3b?c.试用a, b, c表示2u?3v. 解：
2u?3v?2(a?b?2c)?3(?a?3b?c)?2a?2b?4c?3a?9b?3c?5a?11b?7c
10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，
????????????????????????????试以AB?c，BC?a表示向量D1A,D2A,D3A和D4A.
??????????????1解：D1A?BA?BD1??c?a
5??????????????2D2A?BA?BD2??c?a
5??????????????3D3A?BA?BD3??c?a
5??????????????4D4A?BA?BD4??c?a.
5?????11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.
解：设M的投影为M?，则
??????????1PrjuOM?OMcos60??4??2.
212. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.
解：设此向量的起点A的坐标A(x, y, z)，则
????AB?{4,?4,7}?{2?x,?1?y,7?z}
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解得x=-2, y=3, z=0
故A的坐标为A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是P1（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求：
??????????（1） P1P2在各坐标轴上的投影； （2） P1P2的模；
??????????（3） P1P2的方向余弦； （4） P1P2方向的单位向量. ?????解：（1）ax?PrjxP1P2?3, ????? ay?PrjyP1P2?1,
????? az?PrjzP1P2??2.
?????(2) P1P2?(7?4)?(1?0)?(3?5)?22214
ax(3) cos????????P1P2ay cos????????P1P2314114 az?2 cos??????. ??14P1P2?????P1P231?2(4) e0?????,,}???{141414P1P2314i?114j?214k.
14. 三个力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R的大小和方向余
弦.
解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
|R|?cos??2?1?4?22122221 121, cos??421.
, cos??15. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模，并分别用单位向量ea,eb,ec来表达向量a, b, c.
解：|a|?12?12?12?|b|?|c|?2223 38 22?(?3)?5?22(?2)?(?1)?2?3
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