所以z=(1+2i)(1-2i)=5,则==i.
复数混合运算应注意什么? 提示:分清运算层次,逐层进行运算.
复数四则运算的几何意义
【典例】如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是于 ( )
,
,则复数z1·z2对应的点位
A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
=(0,1),所以z1=-2-i,z2=i,z1z2=1-2i,它所对应的点
【解析】选D.由已知为(1,-2),在第四象限.
=(-2,-1),
向量、复数的运算、点的坐标怎样关联?
提示:将向量转化为对应的复数,利用复数运算后再对应相应的点、向量.
复数四则运算的交汇问题
【典例】(2019·邢台模拟)若复数x=sin θ-++icos 2θ的共轭复数在复平面内对应的点位于
i(θ∈R)是纯虚数,则cos θ
( )
A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
【解析】选C.因为复数x=sin θ-+i(θ∈R)是纯虚数,所以
,即sin θ=,cos θ=-(θ为第二象限角).则cos 2θ=1-
2sinθ=1-2×
2
=.
所以cos θ+icos 2θ的共轭复数的实部小于0,虚部小于0,在复平面内对应的点位于第三象限.
本题复数中含有三角函数问题求解时用到了哪些三角函数知识? 提示:用到同角三角函数的基本关系,二倍角公式.
1.若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为________.
【解析】由i·z=1+2i,得z=答案:2
=2-i,所以z的实部为2.
2.(2019·闵行模拟)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对
应的复数分别是z1,z2,则=________.
【解析】由题意,z1=i,z2=2-i,
所以====5.
答案:5
3.(2020·人大附中模拟)复数z满足
=2-i(i为虚数单位),则z的模是________.
【解析】因为=2-i,
所以z=(2-i)(1+2i)=2+4i-i+2=4+3i,
所以|z|=答案:5
=5.
1.(2020·商丘模拟)若=ad-bc,则满足等式=0的复数
z=________.
【解析】由已知可得=z(1+i)+i(1-i)=0,
所以z=答案:-1
=-1.
2.(2019·杭州模拟)欧拉公式e=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数
ix
论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,若|z|=__________.
表示复数z,则
【解析】由题意=cos π+isin π
=cos +isin =-+i,
所以|z|=答案:1
=1.