高中数学专题训练(教师版)—推理
高中数学专题训练（教师版）—推理
一、选择题
1．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质： (ⅰ)1]( ) A．n B．n＋1 C．n－1 D．n2 答案 A
解析 由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1] 2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2011＝( ) A．3 B．－3 C．6 D．－6 答案 A
解析 ∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3…… ∴{an}是以6为周期的周期数列
又2011＝6×335＋1，∴a2011＝a1＝3.选A.
3．因为对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是增函数，
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而y＝log2x是对数函数，所以y＝log2x是增函数， 上面的推理错误的是( )
A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．以上都是 答案 A
解析 y＝logax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．选A 4．(2011·南京质检)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i，j＝N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为( )
1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 … A.105 B．106 C．107 D．108 答案 C
解析 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和
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为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.
1＋x
5．设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1，2，…，则f2009(x)
1－x
等于( )
1
A．－x B．x x－11＋xC. D. x＋11－x答案 D
1＋x
解析 计算：f2(x)＝f()＝
1－x
1＋1＋x
1－xx－111
＝－x，f3(x)＝f(－x)＝f4(x)
1＝x＋1，1＋x1＋x
1－1－x
11－x
1＋＝
x－1x＋1
1＋x1＋x1＋x*
＝x，f5(x)＝f1(x)＝，归纳得f4k＋1(x)＝，k∈N，从而f2009(x)＝. x－11－x1－x1－xx＋1
1－
6．(2011·皖南八校)已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是( )
A．(3,8) B．(4,7) C．(4,8) D．(5,7) 答案 D
解析 观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依此类推和为n＋1的数对有n?n＋1?
n个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由2＝60?n(nn?n＋1?＋1)＝120，n∈Z，n＝10时，＝55个数对，还差5个数对，且这5个数
2对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，
∴第60个数对是(5,7)．
7．(2011·苏北四市调研)某纺织厂的一个车间技术工人m名(m∈N*)，编号分别为1,2,3，…，m，有n台(n∈N*)织布机，编号分别为1,2,3，…，n，定义记号aij：若第i名工人操作了第j号织布机，规定aij＝1，否则aij＝0，则等式a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3的实际意义是( )
A．第4名工人操作了3台织布机 B．第4名工人操作了n台织布机
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C．第3名工人操作了4台织布机 D．第3名工人操作了n台织布机 答案 A
解析 a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3中的第一下标4的意义是第四名工人，第二下标1,2，…，n表示第1号织布机，第2号织布机，……，第n号织布机，根据规定可知这名工人操作了三台织布机．
二、填空题
8．已知1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，则第5个等式为________，…，推广到第n个等式为__________________．(注意：按规律写出等式的形式，不要求计算结果)
答案 1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5；1－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1·n2
＋
＝(－1)n1·(1＋2＋3＋…＋n)
解析 根据前几个等式的规律可知，等式左边的各数是自然数的平方，且正负相间，等式的右边是自然数之和且隔项符号相同，由此可推得结果． 9．(2011·湖北八校)已知扇形的圆心角为2α(定值)，半径为R(定值)，分别按
1
图1、图2作扇形的内接矩形，若按图1作出的矩形的面积的最大值为2R2tan α，则按图2作出的矩形的面积的最大值为________．
α
答案 R2tan2
解析
1
将图1沿水平边翻折作出如图所示的图形，内接矩形的最大面积S＝2·2
α
R2·tan α＝R2·tan α，所以图2中内接矩形的面积的最大值为R2tan2. 2233410．(2011·衡水潍坊)已知2＋3＝23， 3＋8＝38，4＋15＝4aa415，…，若6＋t＝6t，(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.
答案 41
n
解析 根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n＋2＝
n－1
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