泛函分析读书笔记
在学习泛函分析之前，就听说泛函是大学里最难学的一门课，却也是很重要而不得不学的！泛函分析结课之际，利用上课所做的笔记，加上课外阅读，简单谈谈我对泛函分析的了解。
泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。泛函分析是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。这是泛函分析的发展、应用、研究对象以及特点。
由于泛函分析源自研究各种函数空间，在函数空间里函数列的收敛有不同的类型（比如逐点收敛、一致收敛、弱收敛等），这说明函数空间里有不同的拓扑。而函数空间一般是无穷维线性空间。所以抽象的泛函分析研究的是一般的（无穷维的）带有一定拓扑的线性空间。拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。
泛函中存在诸多空间，这里对于几个重要的空间予以认识。 1. 度量空间（距离空间）
定义：设X是一个集合，?x,y?X，若能定义实函数??x,y?，使距离满足： （1） 非负性：??x,y??0 （2） 对称性：??x,y?=??y，x?
（3） 三角不等式：??x,y????x，z????y，z? ?z?X 则称X为度量空间。??x,y?是x与y的距离。
常见的度量空间：
（1） 直线R，距离??x-y，一维空间
22（2） 平面R2，距离??x,y???x1?y1???x2?y2?，二维空间
222（3） 空间R3，距离??x,y???x1?y1???x2?y2???x3?y3?，三维空间
（4） 全体n的有序数组集合R??x??x1,x2,,xn?xi?R,i?1,2,,n?，距离n??xi?1ni?yi?2，n维欧
式空间
（5） 闭区间?a,b?上的全体连续函数的集合C?a,b????x,y?a?t?b?x?t?x?t?是?a,b?上的连续函数?，距离
maxxt?y????t，连续函数空间
（6） 收敛数列全体构成的集合C??x??x1,x2,,xn,?xn?x0?，距离函数??x,y??supxi?xy，
i收敛数列空间
（7） 任一非空集合X，距离??x,y????0x?y，离散空间集合
?1x?y?（8） 全体序列集合S??x??x1,x2,,xn,?xi?R?或C??，距离函数??x,y???i?11xi?yi2i1?xi?yi，序
列空间
2. 赋范线性空间
定义：设X是实（或复）的线性空间，如果对每个向量x?X，有一个确定的实数，记为x与之对应，并且满足： （1）x?0 ，且x?0等价于x?0
（2）?x??x，其中?为任意实（复）数 （3）x?y?x+y,x,y?X
则称x为向量x的范数，称X按范数x成为赋范线性空间。
3. 巴拿赫空间
完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。
这是最常见，应用最广的一类拓扑线性空间。比如有限闭区间上的连续函数空间，有限闭区间上的k次可微函数空间。在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。 4．内积空间
定义：设X是复线性空间，如果对X中任何两个向量x,y，有一复数x,y与之对应，并且满足下列条件：
（1）x,x?0，且x,x?0等价于x?0,x?X
（2）?x??y,z??x,z??y,z，x,y,z?X，?,?为复数 （3）x,y?y,x，x,y?X
则称x,y为x与y的内积，X称为内积空间。
5. 希尔伯特空间 定义：设H是内积空间，对任意x?H，命x??x,x?是完备的。则称H是Hilbert空间。 希尔伯特空间是赋范线性空间的特例，一种最接近于Rn的无限维空间。希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 相比于各种空间，我对算子的了解实在太少，就只是顺带提一下。从赋范线性空间X到另一个赋范线性空间Y中的映射，称为算子。如果Y是数域，则称这种算子为泛函。另外还有一些重要定理和例子，在此就不一一列举。这算是学习泛函分析之后的一点收获和总结，如有错误，还望老师指正，谢谢！