各地解析分类汇编（二）系列: 导 数 3
1.【山东省青岛一中2013届高三1月调研理】 (本题满分14分) （1）证明不等式：ln(1?x)?x(x?0) 1?xax在(0,??)上单调递增，求实数a的取值范围。 a?xx1?x?1在[0,??)上恒成立，求实数b的最大值。 （3）若关于x的不等式
1?bxe（2）已知函数f(x)?ln(1?x)?【答案】解：（1）令g(x)?ln(1?x)?x， 1?x111x?11?x?x241?x?x?21?21?11?x?1?x?1?x则g?(x)???0 x?1x?11?x1?x∴g(x)在(0,??)上单调递减，即g(x) 综上：0?a?2； ………………8分 （3）由已知 x11?1?x在[0,??)上恒成立，∵1?x?0?b?0， 1?bxee1ex111??x??1?x?恒成立，…………10分 当x>0时，易得b?1e?1x1?xxe?1xe1x令e?1?t得b?1??112x(t?0)恒成立，由（2）知：令a=2得：ln（1＋x）>, 2?xtln(1?t)∴1??由 1112?t1?1???； …………12分 tln(1?t)t2t2（ 1 ） 得 ： 1111?tt?11?t1?t1?t1 1???1?????(1?t?1)??1tln(1?t)ttttt1?1?t1?1?t当t?0?时， 11?11?t?11111；∴当t?0?时，1??不大于；∴0?b?； 222tln(1?t)1 ………14分 2当x=0时，b∈R，综上：bmax?2.【山东省师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理】（本题满分14分）已知函数 f?x??alnx??1?a?x?12x,a?R 2（1）当0?a?1时，求函数f?x?的单调区间； （2）已知f?x??0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的范围. ax2??1?a?x?a?x?1??x?a??【答案】f??x???x??1?a?? xxx-----2分 （Ⅰ）当0?a?1时，f??x?、f?x?的变化情况如下表： x ?0，a? + 单调递增 a ?a,1? - 单调递减 1 0 极小值 ?1，??? + 单调递增 f??x? f?x? 0 极大值 所以函数f?x?的单调递增区间是?0,a?,?1,???，单调递减区间是?a,1?………………6分 （Ⅱ）由于f?1???1?a，显然a?0时，f?1??0，此时f?x??0对定义域内的任意x不21?a，此时2是恒成立的， ----------------------------------9分 ???的极小值、也是最小值即是f?1???当a?0时，易得函数f?x?在区间?0，只要f?1??0即可，解得a??11??，?实数a的取值范围是?-?，-?.-----------14分 22??3.【山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理】(本小题满分14分) 设函数 f(x)?(2?a)lnx?1?2ax. x（Ⅰ）当a?0时，求f(x)的极值； （Ⅱ）当a?0时，求f(x)的单调区间； （Ⅲ）当a?2时，对任意的正整数n，在区间[,6?n?]上总有m?4个数使得 121nf(a1)?f(a2)?f(a3)?f(am)?f(am?1)?f(am?2)?f(am?3)?f(am?4)成立，试问：正 整数m是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由. 【答案】(I)函数f(x)的定义域为(0,??). …………………………１分 当a?0时，f(x)?2lnx?由f?(x)?0得x?1212x?1，∴f?(x)??2?.…………………２分 2xxxx1. 2f(x)，f?(x)随x变化如下表: x 1(0,) 21 2 1(,??)2f(x) ? 0 ? f?(x) 值 极小 由上表可知，f(x)极小值?f()?2?2ln2，没有极大值. …………………………４分 122ax2?(2?a)x?1（II）由题意，f?(x)?. 2x11，x2?. ………………………６分 a211若a?0，由f?(x)≤0得x?(0,]；由f?(x)≥0得x?[,??). …………７分 22令f?(x)?0得x1??若a?0， ① 当a??2时，?1111?，x?(0,?]或x?[,??)，f?(x)≤0； a2a211x?[?,]，f?(x)≥0. a2②当a??2时，f?(x)≤0.