第8章 恒定磁场
一、基本要求
掌握磁感强度矢量的概念；理解毕奥-萨伐尔定律、磁场的高斯定理、安培环路定理，能计算一些简单问题的磁感强度；理解洛伦兹力公式，能分析点电荷在均匀磁场中的受力和运动；理解安培定律，能计算简单几何形状载流导体在均匀磁场中所受的力（或力矩）．了解介质的磁化现象及其微观解释，了解各向同性介质中磁场强度和磁感强度的关系与区别．
二、基本内容
1．基本概念
运动电荷（电流）产生磁场；描述磁场的基本物理量：磁感强度，磁通量；磁场对电流的安培力、磁场对运动电荷的洛伦兹力．
2．毕奥-萨伐尔定律
????0Idl?er dB?24πr它是求解磁场的基本规律，从该定律可以直接得到在直电流的延长线和反向延长线上各点的磁感应强度为零．从电流元的磁场出发，得到计算线电流产生磁场的方法：
?????0Idl?er B??dB??(L)(L)4πr2应用上式在教材中导出了一些电流产生磁场的计算公式，包括：一段直电流在空间任意一点的磁场，无限长载流直导线在空间任意一点的磁场，圆电流在圆心处的磁场，一段载流圆弧在圆心处的磁场，无限长螺线管内部和两端磁感强度．这些计算公式在求解问题时可以直接使用．
3．磁场的叠加原理
N?????B?B1?B2???Bn??Bi
i?1该原理表明多个电流在空间某点产生的磁场，等于各电流单独存在时在该点处产生的磁场的矢量和．将磁场的计算公式和叠加原理结合使用，可以求解多个电流在空间某点产生的磁场．在计算中首先应该将复杂的电流分成计算公式已知的电流段，然后分段计算，最后求出矢量和．
4．磁场中的高斯定理
??B??dS?0
S该定理表明：磁场是无源场，磁感线是无头无尾的闭合曲线．应用该定理求解均匀磁场中非闭合曲面的通量时，可以作平面，使平面和曲面形成闭合曲面，由于闭合曲面的通量为零，即曲面的通量等于平面通量的负值，从而达到以平代曲的目的．
5．安培环路定理
N??B?dl?μ0?Ii
i?1?L该定理表明：磁场是有旋场，磁场是非保守场．应用该定理时，首先应该注意穿过以L为边界的任意
1
曲面的电流的正负；其次应该知道环流为零，环路上各点的磁感强度不一定为零．在应用定理求解具有轴对称电流分布的磁场和均匀磁场的磁感应强度时，要根据电流的对称性和磁场的性质选择合适的环路L．
6．安培定律
???dF?Idl?B
该定律是计算磁场对电流的作用的基本定律．一段载流导线在磁场中受到的安培力为
????F??dF??Idl?B
(L)(L)应用上式时，应该注意电流上各点的磁场是否均匀及磁场力的分布特点．如果电流上各点的磁场相等，并且是一段直电流，可以先求出导线所在处的磁场，然后用公式f?IBLsin?求出结果；如果电流上各点所受的磁场力的大小不同但方向相同，可以先在电流上取一小线段dl，求出dl段电流所受的磁力，然后通过标量积分得结果．
7．洛伦兹力
???F?qv?B
洛伦兹力方向始终与电荷运动方向垂直，对运动电荷不做功．质量为m，电量为q的粒子以速率v垂
?mv2πm直进入磁场B时，粒子作匀速率圆周运动：运动半径：R?，运动周期：T?．
qBqB三、例题详解
8-1、一半径R?1.0cm的无限长1/4圆柱形金属薄片，沿轴向通有电流I?10.0A的电流，设电流在金属片上均匀分布，试求圆柱轴线上任意一点P的磁感强度．
解：取dl段，其中电流为 dI?Idl2IRdθ2Idθ?? 1πRππR2 ??????????R ??????P
在P点dB?选坐标如图 dBx??0dI2?R?2I?Id??20d?
2?R??R??0y dl d? ??R ? ?dB x
??0Icos?d???0Isin?d?， dB?y?2R?2R?tan??B/B?1方向，??225?，?为B与x轴正向的夹角． yx??0Iπ/2??0I sin?d???2R?0?2R??Iπ/2??IBy?20?cos?d??20
?R0?R?I221/2B?(Bx?By)?220?1.8?10?4T
?RBx?
2
8-2、电流均匀地流过无限大平面导体薄板，面电流密度为j，设板的厚度可以忽略不计，试用毕奥-萨伐尔定律求板外任意一点的磁感强度．
解：如图，从上向下看，在垂直于j的dl长度内流过电流为dI，dI在P点产生的磁场： dB?μ0dI/(2πr)，dI?jdl dB??0jdl/(2?r)
j 由对称性的分析可知?dB//?0 dB??dBcos??dl l o ?0jdl2πrcos?
?r dB ?dB???? ?P dB//x
∵r?l2?x2；cos??x/l2?x2 ∴B??dB??
8-3、将通有电流I?5.0A的无限长导线折成如图形状，已知半圆环的半径为R?0.10m．求圆心O点的磁感强度．（?0?4π?10?7H/m）
解：O处总B?Bab?Bbc?Bcd，方向垂直指向纸里 而Bab? O I R ?0jxdl1??0j 22???2π2l?x???0I4?a(sin?2?sin?1)
R b I a O 1∵?2?0，?1???，a?R
2∴Bab??0I/(4?R) 又Bbc??0I/(4R)
因O在cd延长线上Bcd?0，所以 B?Bab?Bbc?Bcd??0I/(4?R)??0I/(4R)
c d
8-4、如图所示为两条穿过y轴且垂直于x-y平面的平行长直导线的正视图，两条导线皆通有电流I，但方向相反，它们到x轴的距离皆为a．
?（1）推导出x轴上P点处的磁感强度B(x)的表达式．
y ao a I P I x x （2）求P点在x轴上何处时，该点的B取得最大值．
解：（1）利用安培环路定理可求得1导线在P点产生的磁感强度的大小为： 1 B1???22?r2?(a?x2)1/2?0I?0I
2导线在P点产生的磁感强度的大小为： B2??0I2?r??B1、B2的方向如图所示．P点总磁感强度
??0I1
2?(a2?x2)1/2? 3