惠州市2014届高三第一次调研考试数学试题(理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.已知集合M（ ） A.M??1,2,3?,N??x?Z1?x?4?，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。则
?N? B.N?M C.M?N?{2,3} D.M?N?(1,4)
2.复数zi在复平面上对应的点位于 （ ） 1?i B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限 3.已知平面向量aA.
??1,?2?，b??4,m?，且a?b，则向量5a?3b=( )
(?7,?16) B.(?7,?34) C.(?7,?4) D.(?7,14)
:3x?4y?6?0平行且与圆：x2?y2?2y?0相切,则直线l1的方程是( )
4.已知直线l1与直线l2 A. C.
3x?4y?1?0 B. 3x?4y?1?0或3x?4y?9?0 3x?4y?9?0 D. 3x?4y?1?0或3x?4y?9?0
5.对于平面?、?、?和直线a、b、m、n,下列命题中真命题是( ) A.若aC.若??m,a?n,m??,n??,,则a?? B.若a//b,b??,则a//?
//?,????a,????b,则a//b D.若a??,b??,a//?,b//?,则?//?
?x?2?6.不等式组?y?0表示的平面区域的面积是( )
?y?x?1? A.
13 B. 0 C. 1 D. 22
7.已知函数
f(x)?x3?3x，若过点A?0,16?且与曲线y?f(x)相切的切线方程为y?ax?16，
则实数a的值是( )
A.?3 B.3 C.6 D.9
8.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或正奇数时,m※n=m?n;当
m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,
m※
n=
mn.则在此定义下,集合
M?{(a,b)※ab?12,a?N?,b?N?}中的元素个数是( )
A.10个 B.15个 C.16个 D.18个
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生
只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9.右图是某高三学生进入高中三年来第1次到14次的数学考试成绩 茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为 . 10.已知等差数列{an},满足a3?1,a8?6,则此数列的前10项 的和S10? . 11.已知直线l与直线x?y?1?0垂直，则直线l的倾斜角?? . 12.设f(x)是(??,??)上的奇函数,f(x?3)?f(x). 当0?x?1时有f(x)?2x, 则f(8.5)? .
7 9 8 6 3 8
9 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 4
?5, 0?x?2,13.一物体在力F(x)??(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向,
3x?4, x?2?从x?0处运动到x?4 (单位：m)处,则力F(x)做的功为 焦. 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆??4sin?的圆心到直线??的距离是 .
15.（几何证明选讲选做题）如图,AD为圆O直径,BC切圆O于点
?6(??R)
E,AB?BC,DC?BC , AB?4,DC?1,则AD等于 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数f(x)?和最小正周期；(2) 若f?2sin2x?2cos2x,x?R.(1)求f(x)的最大值
3???????，?是第二象限的角，求sin2?. 282??17.（本小题满分12分）某社团组织50名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,活动内容是：1、到各社区宣传慰问,倡导文明新风；2、到指定的医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人.各位志愿者根据各自的实际情况,选择了不同的活动项目,相关的数据如下表所示：
宣传慰问 义工 总计 20至40岁 大于40岁 总计 11 15 26 16 8 24 27 23 50 (1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名,年龄大于40岁的应该抽取几名? (2) 上述抽取的6名志愿者中任取2名,求选到的志愿者年龄大于40岁的人数的数学期望.
18.（本小题满分14分）如图,已知三棱锥O?ABC的侧棱
OB
ECA OA,OB,OC两两垂直,且OA?1,OB?OC?2,E是OC的中
点.(1)求O点到面ABC的距离；(2)求二面角E?AB?C的正弦值.
19.（本小题满分14分）已知等差数列?an?的公差d?0，它的前n项和为且a2,a7,a22成等比数列（.1） 求数列?an?的通项公式；（2）设数列?求证：
s，若sn5?70，
?1??的前n项和为Tn，s?n?13?Tn?. 6820.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy中，点P(a,b)(a?b?0)为动点，F1,F2分
x2y2别为椭圆2?2?1的左右焦点．已知△F1PF2为等
ab腰三角形．（1）求椭圆的离心率e；
（2）设直线PF2与椭圆相交于A,B两点，M是
F1 O y P A M F2 x ??????????直线PF2上的点，满足A， M?BM??2求点M的轨迹方程．
2B 21.（本小题满分14分）已知二次函数f(x)?ax?bx?c,(a?0),且不等式f(x)?2x的
2).(1) 方程f(x)?3a?0有两个相等的实根,求f(x)的解析式. 解集为(?1，(2) f(x)的最小值不大于?3a,求实数a的取值范围.
(3) a如何取值时,函数y?f(x)?(x?ax?m)(|m|?1)存在零点,并求出零点.
2惠州市2014届高三第一次调研考试
数学 (理科）参考答案与评分标准
一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分
题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 C 6 A 7 D 8 B 1.【解析】N?x?Z1?x?4??2,3?，故M?N?{2,3}，故选C. 2.【解析】
??i11i(1?i)11????i，所以点（?,)位于第二象限.故选B. 1?i222223.【解析】∵a?b,∴a?b?4-2m?0?m?2,∴5a?3b?(?7,?16).故选A. 4.【解析】圆x?y?2y?0的圆心为(0,?1),半径为r?1,因为直线l1//l2,所以,设直线l1 的方程为3x?4y?c?0,由题意得22|3?0?4?(?1)?c|3?422?1?c??1或c?9.
所以,直线l1的方程3x?4y?1?0或3x?4y?9?0.故选D.
b,真命题是“若?//?,????a,????b,, (二）【解析】对于平面?、?、?和直线a、
则a//b”.故选C
6.【解析】不等式组表示的可行域如图所示， 故面积为
11?1?1?.故选A. 2237.【解析】设切点为M(x0,y0)，则y0?x0?3x0 ①， ∵k?f?(x0)?3x0?3，又切线l过A、M两点， ∴k?2y0?16y?162则3x0?3?0 ② x0x0?2?16?9故选D. ?28.【解析】从定义出发,抓住a,b的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键,当a,b同奇偶时,
联立①、②可解得x0??2,y0??2，从而实数a的值为a?k?根据m※n=m?n将12分拆两个同奇偶数的和,当a,b一奇一偶时,根据m※n=mn将12分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可.
若a,b同奇偶,有12?1?11?2?10?3?9?4?8?5?7?6?6,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点(6,6),这时有2?5?1?11;
若a,b一奇一偶,有12?1?12?3?4,每种可以交换位置,这时有2?2?4; ∴共有11?4?15个.故选B
二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做
一题．
9．94.5 10．35 11．? （或135?） 12．?1 13．36 14． 3 15． 5 9.【解析】从茎叶图中可知14个数据排序为：79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114中位数为94与95的平均数94.5 . 10.【解析】S10?34(a1?a10)?10(a3?a8)?107?10???35.
2223?. 411.【解析】?直线l与直线x?y?1?0垂直得kl??1?tan?，???12.【解析】f(8.5)?f(5.5?3)?f(5.5)?f(2.5?3)?f(2.5)?f(?0.5?3)
?f(?0.5)??f(0.5)??2?0.5??1.
13.【解析】W??40?3?F(x)dx??5dx??(3x?4)dx?5x0??x2?4x??36
02?2?2242414.【解析】由??4sin?得圆O为x?(y?2)?4,圆O的圆心C(0,2)直线
22???6所以点C(0,2)到直线??(??R)的直角坐标方程为x?3y?0，
?6(??R)的
距离是3. 15.【解析】连接OE,?BC切圆O于点E,?OE?BC.又?AB?BC,DC?BC，O是
1AD中点，?OE?(AB?DC).?AD?2OE?5
2三、解答题： 16.解(1)∵f(x)?2??2?2????sin2x?cos2x?2cossin2x?sincos2x??? ?2?244????????2sin?2x?? ?????????4分
4??∴f(x)的最大值为2,??5分，最小正周期为T?(2)由(1)知,f(x)?2sin?2x?2??? ???6分 2????? 4?