第四章 三 角 形
1.应用三角形的三边关系的方法技巧
(1)已知三角形的两边长求第三边的范围,解答这类问题的关键是求两边之和、两边之差,第三边大于两边之差小于两边之和.
【例】若三角形的两边长分别为6 cm,9 cm,则其第三边的长可能为 ( ) A.2 cm B.3 cm C.7 cm D.16 cm
【标准解答】选C.设第三边长为xcm. 由三角形三边关系定理得9-6
(2)已知三条线段,判断以这三条线段为边能否构成三角形,解答的关键是只求两较短边之和,与最长边去比较.
【例】下列长度的三条线段,不能组成三角形的是 ( ) A.3,8,4 B.4,9,6 C.15,20,8 D.9,15,8 【标准解答】选A.分析各选项: A.∵3+4<8∴不能构成三角形; B.∵4+6>9∴能构成三角形; C.∵8+15>20∴能构成三角形; D.∵8+9>15∴能构成三角形.
(3)在解决三角形中线段比较大小的问题时,我们经常会用到三角形的“三边关系定理”来解决问题,它是我们初中阶段经常用于比较线段大小的重要依据. 【例】如图,点P是△ABC内任意一点,试说明PB+PC
【标准解答】延长BP交AC于点D,
在△ABD中,PB+PD
PB+PD+PC
1.下列长度的三条线段,能组成三角形的是 ( ) A.1,1,2 B.3,4,5 C.1,4,6 D.2,3,7
2.如果一个三角形的两边长分别为2和5,则第三边长可能是 ( ) A.2 B.3 C.5 D.8
3.某同学手里拿着长为3和2的两个木棍,想要找一个木棍,用它们围成一个三角形,那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是 ( ) A.1,3,5 B.1,2,3 C.2,3,4 D.3,4,5
4.各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个.
5.如图,△ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点G,若S△ABC=12,则图中阴影部分面积是.
2.求一个角的度数的方法
(1)当所求角是一个三角形的内角时,可先求出这个三角形另外两个内角的度数,再根据三角形内角和
定理计算.
【例】如图,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=40°,∠AOB=75°.则∠C等 于 ( )
A.40° B.65° C.75° D.115° 【标准解答】选B.∵∠A=40°,∠AOB=75°. ∴∠B=180°-∠A-∠AOB =180°-40°-75°=65°, ∵AB∥CD,∴∠C=∠B=65°.
(2)当所求角是一个三角形的外角时,可利用三角形外角的性质结合三角形的内角和定理计算. 【例】将一副常规的三角尺按如图方式放置,则图中∠AOB的度数为 ( )
A.75°B.95° C.105°D.120° 【标准解答】选C. ∵∠ACO=45°-30°=15°, ∴∠AOB=∠A+∠ACO =90°+15°=105°.
(3)当条件中含有平行线时,可利用平行线的性质将其转化为其他易求的角. 【例】如图,已知l1∥l2,∠A=40°,∠1=60°,则∠2的度数为 ( )
A.40° B.60° C.80° D.100° 【标准解答】选D.如图,