空间几何平行垂直证明专题训练
? 知识点讲解
一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明
1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性:m//a,m//b?a//b 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 a∥?a??β 5）利用平面与平面平行的性质定
?a∥bα b ????b理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6）利用直线与平面垂直的性质定理： ba垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a????a∥b7）利用平面内直线与直线垂直的性质： b??在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论：
两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。
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a???∥??a∥?α
aβ
3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点
（二）平面与平面平行的证明
常见证明方法：
1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 a??b??a∩b?Pa//?b//???//???baP 2) 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等 3) 利用定义：两个平面没有公共点 二、“垂直关系”常见证明方法 （一）直线与直线垂直的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。 2) 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。 3) 利用直线与平面垂直的性质： 如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。 a???b?ab??4) 利用平面与平面垂直的性质推论：
b α 如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。
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???????la??b??a?lb?lβ ?a?bα b
5) 利用常用结论：
① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。 c a∥ba?c直。 a???b?c b ② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂b （二）b∥??a?b直线与平面垂直的证明 α 1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等 2) 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。 3) 利用直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。 4) 利用平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 5) 利用常用结论： ① 一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面。 ba② 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。 （三）平面与平面垂?∥?1) 利用某些空间几何a??于底面等
直的证?a?????a明 体的特性：如长方体侧面垂直2) 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），
就说这连个平面互相垂直。 3) 利用平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
?a题型一：平行
a??a??A1B、A1C的中点，求证：EF∥平面ABC；例1.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，E、F分别是?
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????（线线平行、线面平行、面面平行）
(两种方法证明) 方法一：
方法二：
例2.如图，正三棱柱ABC?A1B1C1中，D是BC的中点，求证：A1B//平面ADC1．（两种方法证明） 方法一： 方法二： 3．如图，在底面为平行四边行的四棱锥P?ABCD中，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC；（两种方法证明） 方法一： 方法二： 4.如图，E、F、O分别为PA，PB，AC的中点，G是OC的中点，求证：FG//平面BOE；（两种方法证明） 方法一： 方法二： 课后练习 1.已知空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.求证：AC//平面EFG. 2.已知空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.求证：EF//平面BGH.
3.已知在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，E为PC的中点，O为BD的中点.求证：OE//平面ADP
4.已知在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，E为PC的中点.求证：PA//平面BDE 5.正方体ABCD?A1B1C1D1中，E,G分别是BC,C1D1中点.求证：EG//平面BDD1B1
6.如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC的中点
证明：直线MN‖平面OCD；
7.在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，E,F分别是AB，PD的中点.求证：AF//平面PCE
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P
FAEAADCB
DC
BA
9．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：C1O//平面AB1D1；
题型二：垂直（线线垂直、线面垂直、面面垂直） 1.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，点D在B1C1上，A1D?B1C.求证：平面A1CD?平面BB1C1C. 2.如图，正三棱柱ABC?A1B1C1中，D是BC的中点，．求证：直线A1D?B1C1； 3.如图，四棱锥P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，点E在棱PB上.求证：平面AEC?平面PDB； 4.如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=1，AC?AA1?3，∠ABC=60?.求证：AB?A1C 5.直三棱柱ABC?A1B1C1中，?BAC?90，AB?AC?AA1?2，M、N分别是BC、CC1的中点，求证：B1M?平面AMN； 6.如图，在三棱锥P?ABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90o。求证：AB⊥PC
课后练习 1.如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱.求证：BD⊥平面ACC1A1; 2.如图，四棱锥P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，点E在棱PB上.求证：平面AEC?平面PDB； 3.如图，三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都相等，且A1A?底面ABC，D为C1C的中点，AB1与A1B相交于点O，连结OD，（1）求证：OD//平面ABC；（2）求证：AB1?平面A1BD。 4.如图所示，四边形ABCD为矩形，AD?平面ABE，F为CE上的点，AE?EB?BC?2，且BF?平面ACE （1）求证：AE?平面BCE；（2）求证：AE//平面BFD；（3）求三棱锥C?BGF的体积。
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