空间几何—平行垂直证明(高一)

空间几何平行垂直证明专题训练

? 知识点讲解

一、“平行关系”常见证明方法 (一)直线与直线平行的证明

1) 利用某些平面图形的特性:如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性:m//a,m//b?a//b 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理: 如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。 a∥?a??β 5)利用平面与平面平行的性质定

?a∥bα b ????b理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 6)利用直线与平面垂直的性质定理: ba垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a????a∥b7)利用平面内直线与直线垂直的性质: b??在同一个平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8)利用定义:在同一个平面内且两条直线没有公共点 (二)直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理:

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论:

两个平面互相平行,则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

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a???∥??a∥?α

3) 利用定义:直线在平面外,且直线与平面没有公共点

(二)平面与平面平行的证明

常见证明方法:

1) 利用平面与平面平行的判定定理: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 a??b??a∩b?Pa//?b//???//???baP 2) 利用某些空间几何体的特性:如正方体的上下底面互相平行等 3) 利用定义:两个平面没有公共点 二、“垂直关系”常见证明方法 (一)直线与直线垂直的证明 1) 利用某些平面图形的特性:如直角三角形的两条直角边互相垂直等。 2) 看夹角:两条共(异)面直线的夹角为90°,则两直线互相垂直。 3) 利用直线与平面垂直的性质: 如果一条直线与一个平面垂直,则这条直线垂直于此平面内的所有直线。 a???b?ab??4) 利用平面与平面垂直的性质推论:

b α 如果两个平面互相垂直,在这两个平面内分别作垂直于交线的直线,则这两条直线互相垂直。

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???????la??b??a?lb?lβ ?a?bα b

5) 利用常用结论:

① 如果两条直线互相平行,且其中一条直线垂直于第三条直线,则另一条直线也垂直于第三条直线。 c a∥ba?c直。 a???b?c b ② 如果有一条直线垂直于一个平面,另一条直线平行于此平面,那么这两条直线互相垂b (二)b∥??a?b直线与平面垂直的证明 α 1) 利用某些空间几何体的特性:如长方体侧棱垂直于底面等 2) 看直线与平面所成的角:如果直线与平面所成的角是直角,则这条直线垂直于此平面。 3) 利用直线与平面垂直的判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线垂直于此平面。 4) 利用平面与平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 5) 利用常用结论: ① 一条直线平行于一个平面的一条垂线,则该直线也垂直于此平面。 ba② 两个平面平行,一直线垂直于其中一个平面,则该直线也垂直于另一个平面。 (三)平面与平面垂?∥?1) 利用某些空间几何a??于底面等

直的证?a?????a明 体的特性:如长方体侧面垂直2) 看二面角:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角(即平面角是直角的二面角),

就说这连个平面互相垂直。 3) 利用平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。

?a题型一:平行

a??a??A1B、A1C的中点,求证:EF∥平面ABC;例1.如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,E、F分别是?

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????(线线平行、线面平行、面面平行)

(两种方法证明) 方法一:

方法二:

例2.如图,正三棱柱ABC?A1B1C1中,D是BC的中点,求证:A1B//平面ADC1.(两种方法证明) 方法一: 方法二: 3.如图,在底面为平行四边行的四棱锥P?ABCD中,点E是PD的中点.求证:PB//平面AEC;(两种方法证明) 方法一: 方法二: 4.如图,E、F、O分别为PA,PB,AC的中点,G是OC的中点,求证:FG//平面BOE;(两种方法证明) 方法一: 方法二: 课后练习 1.已知空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.求证:AC//平面EFG. 2.已知空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.求证:EF//平面BGH.

3.已知在四棱锥P-ABCD中,ABCD为平行四边形,E为PC的中点,O为BD的中点.求证:OE//平面ADP

4.已知在四棱锥P-ABCD中,ABCD为平行四边形,E为PC的中点.求证:PA//平面BDE 5.正方体ABCD?A1B1C1D1中,E,G分别是BC,C1D1中点.求证:EG//平面BDD1B1

6.如图,在四棱锥O?ABCD中,底面ABCD四边长为1的菱形,M为OA的中点,N为BC的中点

证明:直线MN‖平面OCD;

7.在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AB,PD的中点.求证:AF//平面PCE

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P

FAEAADCB

DC

BA

9.已知正方体ABCD—A1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点.求证:C1O//平面AB1D1;

题型二:垂直(线线垂直、线面垂直、面面垂直) 1.如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,点D在B1C1上,A1D?B1C.求证:平面A1CD?平面BB1C1C. 2.如图,正三棱柱ABC?A1B1C1中,D是BC的中点,.求证:直线A1D?B1C1; 3.如图,四棱锥P?ABCD的底面是正方形,PD?底面ABCD,点E在棱PB上.求证:平面AEC?平面PDB; 4.如图,直三棱柱ABC?A1B1C1中,AB=1,AC?AA1?3,∠ABC=60?.求证:AB?A1C 5.直三棱柱ABC?A1B1C1中,?BAC?90,AB?AC?AA1?2,M、N分别是BC、CC1的中点,求证:B1M?平面AMN; 6.如图,在三棱锥P?ABC中,⊿PAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90o。求证:AB⊥PC

课后练习 1.如图,ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱.求证:BD⊥平面ACC1A1; 2.如图,四棱锥P?ABCD的底面是正方形,PD?底面ABCD,点E在棱PB上.求证:平面AEC?平面PDB; 3.如图,三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都相等,且A1A?底面ABC,D为C1C的中点,AB1与A1B相交于点O,连结OD,(1)求证:OD//平面ABC;(2)求证:AB1?平面A1BD。 4.如图所示,四边形ABCD为矩形,AD?平面ABE,F为CE上的点,AE?EB?BC?2,且BF?平面ACE (1)求证:AE?平面BCE;(2)求证:AE//平面BFD;(3)求三棱锥C?BGF的体积。

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