上海曹杨二中2018-2019学年度上学期高三数学试题

2018.12.27

一、填空题(前6题每题4分,后6题每题5分,共54分) 1.若集合A??x|x＞0?则A?B?______. ，B?xx?1＜2，??π??2.函数y?sin?2x??的周期为_________.

3??3.在?x?2?的二项展开式中,第2项的系数是________.

84.不等式

1?x＞0的解集是_________. x?2，5.已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若a1?1，S7?21则an?_______.

6.已知a、则a、b为单位向量,且a?b?1，b向量的夹角为________.

7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、则lim?V1?V2???Vn??_______.

n??1?，Vn，为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，

28.若复数?1?ai??2?i?在复平面上所对应的点在直线y?x上,则实数a?_____.

9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每

个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23,在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是________.

10.已知函数f?x??9?π??4，g?x??asin?x??2a?a＞0?，2?，若对任意x1??0，总存在 x?1?3?x2??0，2?，使g?x1??f?x2?成立,则实数a的取值范围是________.

y211.已知双曲线C:x?2?1?b＞0?的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2与抛物线y2?8x的焦点重合,设P

b2为右支上任意一点,则

PF1PF22的最小值为_______.

12.已知函数f?x??x2，对于给定的实数t，若存在a＞0，b＞0，满足:对任意x??t?a，t?b? ，均有f?x??f?t??2成立,则记a?b的最大值为H?t?.当t??1，2?时,函数H?t?的值域为___. 二、选择题(每小题5分,共20分)

13.“a＞1”是“函数f?x???a?1??ax是单调增函数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

14.已知向量a???3，,则下列能使a??e1??e2??，??R?成立的一组向量e1，4?，e2是 A.e1??0，0?，e2???2，6? B.e1??1，?3?，e2???2，6?

?1?1?，e2??1，?2? C.e1???1，2?，e2??3，2? D.e1???，?2?15.关于曲线C:x4?y2?1，,给出下列四个命题: ①曲线C关于原点对称； ②曲线C关于直线y?x对称； ③曲线C围成的面积大于π； ④曲线C围成的面积小于π. 上述命题中,真命题的序号为

A.①②③ B.①②④ C.①④ D.①③

16.在正方体ABCD?A?B?C?D?中,若点P(异于点B)是棱上一点，则满足BP与AC?所成的角为45°的点P的个数为

A.0 B.3 C.4 D.6 三、解答题(共76分)

17.如图,在圆锥SO中,AB为底面圆O的直径,点C为弧AB的中点,SO=AB. (1)证明:AB⊥平面SOC；

(2)若点D为母线SC的中点,求AD与平面SOC所成的角(结果用反三角函数表示).

18.如图,一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处

分别有需要清扫的垃圾,红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m,于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s,忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间,10秒钟完成了清扫任务.

(1)B、C两处垃圾的距离是多少?(精确到0.1)

(2)智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B是多少?(用反三角函数表示)