选修4－4 坐标系与参数方程
第一节 坐标系
[考纲传真] 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
??x′＝λφ：?
?y′＝μ?
λ＞μ＞
，
的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标
系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.
③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
3．极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
??x＝ρcos θ，?
?y＝ρsin θ；?
ρ＝x＋y，??
?ytan θ＝?x?
222
4．简单曲线的极坐标方程
曲线 圆心为极点，半径为r的圆 圆心为(r,0)，半径为r的圆 极坐标方程 ρ＝r(0≤θ＜2π) π??πρ＝2rcos θ?－≤θ≤? 2??2ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π) θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) π??πρcos θ＝a?－＜θ＜? 2??2ρsin θ＝a(0＜θ＜π) ?π?圆心为?r，?，半径为r的圆 2??过极点，倾斜角为α的直线 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ?π?过点?a，?，与极轴平行的直线 2??[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( ) π??(2)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的一个极坐标是?2，－?.( )
3??(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
?π?A.?1，?
2??
C．(1,0)
2
B.?1，－
?
?
π?? 2?
2
2
D．(1，π)
B [法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x＋y＝－2y，化成标准方程π??22
为x＋(y＋1)＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为?1，－?.
2??
?法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos?θ＋?
π?π??，知圆心的极坐标为?1，－?，故选B.] ?2?2??
3．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( ) 1π
A．ρ＝，0≤θ≤
cos θ＋sin θ21π
B．ρ＝，0≤θ≤
cos θ＋sin θ4C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤A [∵y＝1－x(0≤x≤1)，
∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝
1?0≤θ≤π?.]
??2?sin θ＋cos θ?
2
π
2π 4
4．在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为________．
?y＝x，?
(1,1) [由ρsinθ＝cos θ?ρsinθ＝ρcos θ?y＝x，又由ρsin θ＝1?y＝1，联立?
??y＝1
2
2
2
2
2
??x＝1，
??
?y＝1.?
故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1)．]
π
(ρ∈R)距离的最大值是________． 3
5．在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝
π222
6 [圆ρ＝8sin θ即ρ＝8ρsin θ，化为直角坐标方程为x＋(y－4)＝16，直线θ＝，则tan θ
3＝3，化为直角坐标方程为3x－y＝0，圆心(0,4)到直线的距离为的最大值为2＋4＝6.]
|－4|4
＝2，所以圆上的点到直线距离
平面直角坐标系中的伸缩变换(题组呈现)
1??x′＝x，x221．求椭圆＋y＝1经过伸缩变换?
4
??y′＝y
2
后的曲线方程．
1??x′＝x，
2[解] 由???y′＝y，
2
??x＝2x′，
得到?
??y＝y′.
2
①
x4x′2222
将①代入＋y＝1，得＋y′＝1，即x′＋y′＝1.
44x222
因此椭圆＋y＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x＋y＝1.
4
22
?X＝?xy
2．将圆x＋y＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式为φ：?
94??Y＝
2
22
＞＞
，，
求a，b的值．
??X＝ax，
[解] 由?
?Y＝by?
1
x＝X，??a得?1
y＝??bY，
XY
代入x＋y＝1中得2＋2＝1，
ab
2
2
22
所以a＝9，b＝4，即a＝3，b＝2. [规律方法] 平面上的曲线y＝x′x＝??λ，是将?y′y＝??μ后的方程. 易错警示：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标 极坐标系与直角坐标系的互化(例题对讲)
【例1】 (2019·合肥质检)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线
，与变换后的点的坐标， ??x′＝λ在变换φ：??y′＝μ?22
λ＞μ＞， 的作用下的变换方程的求法 代入y＝y′?x′?，得＝f??，整理之后得到y′＝μ?λ?，即为所求变换之?C的极坐标方程为ρcos?θ－
?
π?
?＝1(0≤θ＜2π)，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点． 3?
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程． π??θ－[解] (1)由ρcos?＝1得 3???3?1?
ρ?cos θ＋sin θ?＝1.
2?2?