第一章测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形
B．直角三角形 D．非钝角三角形
52＋62－823解析 最大边AC所对角为B，则cosB＝＝－20<0，
2×5×6∴B为钝角．
答案 C
2．在△ABC中，已知a＝1，b＝3，A＝30°，B为锐角，那么A，B，C的大小关系为( )
A．A>B>C C．C>B>A
B．B>A>C D．C>A>B
abbsinA3解析 由正弦定理sinA＝sinB，∴sinB＝a＝2. ∵B为锐角，∴B＝60°，则C＝90°，故C>B>A. 答案 C
3．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( ) A．42 C．46
B．43 32
D.3
解析 由A＋B＋C＝180°，可求得A＝45°，由正弦定理，得b
38×2
asinB8×sin60°＝sinA＝sin45°＝＝46.
22
答案 C
→→
4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则BA·BC的值为( ) A．5 C．15
B．－5 D．－15
解析 在△ABC中，由余弦定理得 AB2＋BC2－AC225＋49－641cosB＝＝＝7. 2AB·BC2×5×7→→→→1∴BA·BC＝|BA|·|BC|cosB＝5×7×7＝5. 答案 A
5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( ) A．1：2：3 C．1：2：3
B．1：3：2 D.2：3：2
解析 设三边长分别为a，3a,2a，设最大角为A，则cosA＝a2＋?3a?2－?2a?2
＝0，∴A＝90°.
2·a·3a
?2a?2＋?3a?2－a23设最小角为B，则cosB＝＝2，
2·2a·3a∴B＝30°，∴C＝60°. 因此三角之比为1：2：3. 答案 A
6．在△ABC中，若a＝6，b＝9，A＝45°，则此三角形有( ) A．无解
B．一解
C．两解 D．解的个数不确定
29×2
babsinA3 2解析 由sinB＝sinA，得sinB＝a＝6＝4>1. ∴此三角形无解． 答案 A
7．已知△ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB(其中a，b分别为A，B的对边)，那么角C的大小为( )
A．30° C．60°
B．45° D．90°
解析 根据正弦定理，原式可化为 c2??a2b2R?4R2－4R2?＝(2a－b)·2R， ??
∴a2－c2＝(2a－b)b，∴a2＋b2－c2＝2ab， a2＋b2－c22
∴cosC＝2ab＝2，∴C＝45°. 答案 B
8．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为( )
A．1 C.2
B．2 D.3
abc
解析 由sinA＝sinB＝sinC＝2R， 又sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C， 可得a2＋b2－ab＝c2.
a2＋b2－c213
∴cosC＝2ab＝2，∴C＝60°，sinC＝2.
1
∴S△ABC＝2absinC＝3. 答案 D
sinB
9．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinC的值为( ) 8A.5 5C.3
解析 由余弦定理，得
AB2＋AC2－BC2
cosA＝，解得AC＝3. 2AB·ACsinBAC3由正弦定理sinC＝AB＝5. 答案 D
10.在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为( )
2πA.3 3πC.4
5πB.6 πD.3 5B.8 3D.5
AB2＋AC2－BC252＋32－72
解析 由余弦定理，得cos∠BAC＝＝2AB·AC2×5×312π＝－2，∴∠BAC＝3. 答案 A
11．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )
A．0.5 km
B．1 km
C．1.5 km
3D.2 km
解析 如图，AC＝AB·sin20°＝sin20°，
ACBC＝AB·cos20°＝cos20°，DC＝tan10°＝2cos210°， ∴DB＝DC－BC＝2cos210°－cos20°＝1.
答案 B
12．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且A＝75°，则b为( )
A．2 C．4－23
B．4＋23 D.6－2
解析 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵a＝c，∴0＝b2－2bccosA＝b2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°2?31?1＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝2?－?＝4(6－2)，∴b2
2??212
－2b(6＋2)cos75°＝b－2b(6＋2)·(6－2)＝b－2b＝0，解得4
2
b＝2，或b＝0(舍去)．故选A.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在△ABC中，A＝60°，C＝45°，b＝4，则此三角形的最小边是____________．