解析 由A＋B＋C＝180°，得B＝75°，∴c为最小边，由正弦bsinC4sin45°
定理，知c＝sinB＝sin75°＝4(3－1)．
答案 4(3－1)
14．在△ABC中，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________. 解析 由B＝A＋60°，得
13sinB＝sin(A＋60°)＝2sinA＋2cosA. 又由b＝2a，知sinB＝2sinA. 13
∴2sinA＝2sinA＋2cosA. 33
即2sinA＝2cosA. 3
∵cosA≠0，∴tanA＝3. ∵0° 15．在△ABC中，A＋C＝2B，BC＝5，且△ABC的面积为103，则B＝________，AB＝________. 解析 由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180°，得B＝60°. 1 又S＝2AB·BC·sinB， 1 ∴10 3＝2AB×5×sin60°，∴AB＝8. 答案 60° 8 16．在△ABC中，已知(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)＝8：9：10，则sinA：sinB：sinC＝________. 解析 b＋c＝8k，?? 设?c＋a＝9k，??a＋b＝10k， 可得a：b：c＝11：9：7. ∴sinA：sinB：sinC＝11：9：7. 答案 11：9：7 三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在非等腰△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b(b＋c)． (1)求证：A＝2B； (2)若a＝3b，试判断△ABC的形状． 解 (1)证明：在△ABC中，∵a2＝b·(b＋c)＝b2＋bc，由余弦定a2＋c2－b2bc＋c2b＋casinA 理，得cosB＝2ac＝2ac＝2a＝2b＝2sinB， ∴sinA＝2sinBcosB＝sin2B. 则A＝2B或A＋2B＝π. 若A＋2B＝π，又A＋B＋C＝π，∴B＝C.这与已知相矛盾，故A＝2B. (2)∵a＝3b，由a2＝b(b＋c)，得3b2＝b2＋bc，∴c＝2b. 又a2＋b2＝4b2＝c2. 故△ABC为直角三角形． 18．(12分)锐角三角形ABC中，边a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，角A，B满足2sin(A＋B)－3＝0.求： (1)角C的度数； (2)边c的长度及△ABC的面积． 3 解 (1)由2sin(A＋B)－3＝0，得sin(A＋B)＝2. ∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＝120°，∴∠C＝60°. (2)∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的两个根， ∴a＋b＝23，ab＝2. ∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝12－6＝6. ∴c＝6. 1133S△ABC＝2absinC＝2×2×2＝2. 19．(12分)如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126 nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83 nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求： (1)A处与D处的距离； (2)灯塔C与D处的距离． 解 (1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12 6，由2 126×2 ABsinB 正弦定理，得AD＝＝＝24(nmile)． sin∠ADB3 2 (2)在△ADC中，由余弦定理，得 CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°. 解得CD＝83(nmile)． ∴A处与D处的距离为24 nmile，灯塔C与D处的距离为83 nmile. 20．(12分)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)． (1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形； π (2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝3，求△ABC的面积． 解 (1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB. ab 由正弦定得知，sinA＝2R，sinB＝2R(其中R为△ABC外接圆的ab 半径)，代入上式，得a· 2R＝b·2R，∴a＝b.故△ABC为等腰三角形． (2)∵m⊥p，∴m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab. 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得 4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)． 11π ∴△ABC的面积S＝2absinC＝2×4×sin3＝3. π 21．(12分)在△ABC中，已知内角A＝3，边BC＝23，设内角B＝x，周长为y. (1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域； (2)求y的最大值． π 解 (1)△ABC的内角和A＋B＋C＝π，由A＝3，B>0，C>0，得 2π 0 BC23AC＝sinA·sinB＝π·sinx＝4sinx. sin3 ?2π?BC ?AB＝sinAsinC＝4sin3－x?. ?? ∵y＝AB＋BC＋CA， 2π??2π?? ∴y＝4sinx＋4sin?3－x?＋23?0 ????31 (2)y＝4(sinx＋2cosx＋2sinx)＋23 π ＝43sin(x＋6)＋23. ππ5π∵6 πππ ∴当x＋6＝2，即x＝3时，y取得最大值63. 22．(12分)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanCsinA＋sinB＝，sin(B－A)＝cosC. cosA＋cosB (1)求A，C； (2)若S△ABC＝3＋3，求a，c. sinA＋sinB 解 (1)因为tanC＝， cosA＋cosBsinCsinA＋sinB即cosC＝， cosA＋cosB 所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB， 即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，得sin(C－A)＝sin(B－C)．