课时作业(十三) 抛物线及其标准方程
A组 基础巩固 21．抛物线y＝4x的焦点到准线的距离为( ) A．1 B．2 C．4 D．8 2解析：由y＝4x得焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，∴焦点到准线的距离为2. 答案：B 2．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( ) 16922A．y＝16x B．y＝12x 22C．y＝－20x D．y＝20x 解析：由已知抛物线的焦点为(4,0)， 2则设抛物线的标准方程为y＝2px(p＞0)． ∴＝4，p＝8.∴所求方程为y＝16x. 2答案：A 3．已知动点M(x，y)的坐标满足x－2＋y2＝|x＋2|，则动点M的轨迹是( ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上均不对 解析：设F(2,0)，l：x＝－2，则M到F的距离为x－2＋y2，M到直线l：x＝－2的距离为|x＋2|，又x－2＋y2＝|x＋2|，所以动点M的轨迹是以F(2,0)为焦点，l：x＝－2为准线的抛物线． 答案：C 24．动圆的圆心在抛物线y＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( ) A．(4,0) B．(2,0) C．(0,2) D．(0，－2) 2解析：x＋2＝0为抛物线y＝8x的准线，由抛物线定义知动圆一定过抛物线的焦点． 答案：B 25．抛物线y＝ax的准线方程是y－2＝0，则a的值是( ) 11A． B．－ C．8 D．－8 881112解析：抛物线方程化为标准形式为x＝y，其准线方程为y＝－＝2，所以a＝－. a4a8答案：B 26．抛物线y＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则此抛物线的方程为( ) 2A．y＝－16x 2B．y＝8x 22C．y＝16x或y＝－8x 22D．y＝－16x或y＝8x 解析：抛物线的准线方程为x＝－，则?1＋?＝3，m＝8或－16. 4?4?22∴所求抛物线方程为y＝8x或y＝－16x.故选D. 答案：D 7．已知动点P到定点(2,0)的距离和它到定直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为__________． 解析：由条件可知P点的轨迹为抛物线，其焦点为(2,0)，准线方程为x＝－2， 所以＝2，p＝4，轨迹方程为y＝2px＝8x. 22答案：y＝8x
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x2y2p2m?m?p2
8．已知点A(0，－2)，直线l：y＝2，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹方程为________． 解析：设圆心为C，则|CA|＝d，其中d为点C到直线l的距离，所以C的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线． 2所以所求轨迹方程为x＝－8y. 2答案：x＝－8y 29．设抛物线y＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________． ??2解析：由已知得B点的纵坐标为1，横坐标为，即B?，1?，将其代入y＝2px(p＞0)得4?4?ppp3321＝2p×，解得p＝2，则B点到抛物线准线的距离为＋＝p＝. 4244432答案： 42210．动圆P与定圆A：(x＋2)＋y＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程． pp 解：如图，设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D，作直线l′：x＝2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连接PA. 设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r＝1. ∵圆P与圆A外切， ∴|PA|＝R＋r＝R＋1. 又∵圆P与直线l：x＝1相切， ∴|PD′|＝|PD|＋|DD′|＝R＋1. ∵|PA|＝|PD′|，即动点P到定点A与到定直线l′距离相等， ∴点P的轨迹是以A为焦点，以l′为准线的抛物线． 2设抛物线的方程为y＝－2px(p＞0)， 可知p＝4， 2∴所求的轨迹方程为y＝－8x. B组 能力提升 211．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ) 1137A．2 B．3 C. D. 516 解析：如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为|PF|，由图可知，距离和的最小 - 2 -
值即F到直线l1的距离d＝|4＋6|4＋－22＝2. 答案：A 212．设抛物线y＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是__________． 解析：由题意知P到抛物线准线的距离为4－(－2)＝6，由抛物线的定义知，点P到抛物线焦点的距离也是6. 答案：6 ?7?213．已知抛物线y＝2px(p＞0)上的一点M到定点A?，4?和焦点F的距离之和的最小值?2?等于5，求抛物线的方程． 解： 7162(1)当点A在抛物线内部时，4＜2p·，即p＞时，|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|. 27当A，M，A′共线时(如图中，A，M′，A″共线时)，(|MF|＋|MA|)min＝5. p73162故＝5－＝?p＝3，满足3＞，所以抛物线方程为y＝6x. 222772(2)当点A在抛物线外部或在抛物线上时，4≥2p·， 216即0＜p≤时，连接AF交抛物线于点M， 7?7p?22此时(|MA|＋|MF|)最小，即|AF|min＝5，?－?＋4＝25， ?22?7p－＝±3?p＝1或p＝13(舍去)． 222故抛物线方程为y＝2x. 22综上，抛物线方程为y＝6x或y＝2x. 214．设P是抛物线y＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1距离之和的最小值； (2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． 解： (1)如图(1)，易知抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. ∵点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F(1,0)的距离， ∴问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小． 如图(2)，显然P是A、F的连线与抛物线的交点，最小值为|AF|＝5. (1) (2) - 3 -