2.(1)FY(y)?P(Y?y)?P(e?y)?P(X?lny)?0 y?1 ? ?FX(lny)??lny 1?y?e?1 y?e ??1dFY(y)? 1?y?e?fY(y)???yy?0 other?(2)FY(y)?P(Y?y)?P(?2lnX?y)?P(X?e)y???1?e2 0?y??? ?1?P(X?e)???? 0 y?0 y?2y?1?2dFY(y)?e 0?y????fY(y)???2y?0 other?3．设X~N(0,1)，求： （1）Y?2X?1的概率密度； （2）Y?|X|的概率密度。
2X
?y2
21
3.(1)FY(y)?P(Y?y)?P(2X?1?y)y?1 ?P(??X?2 ?2P(X?y?1)2
2y?1y?1)?1?2FX()?122y?111?fY(y)?2fX()222y?1 ?11ey?1?222(y?1)2??112(y?1)2?e?y?14(y?1)y?1??14e y?1??fY(y)??2?(y?1)?0 other?
22
(2)FY(y)?P(Y?y)?P(X?y) ?P(?y?X?y)?2?X(y)?1?1e y?0 ?2 ?fY(y)??2??0 other? ?2x?4．设随机变量X的概率密度为f(x)???2??0
y2?20?x??其他，求Y?sinX的概率密度。
4.FY(y)?P(Y?y)?P(sinX?y)?P(X?arcsinyX???arcsiny )11?y2 ?P(X?arcsiny)?1?P(X???arcsiny)?fY(y)?fX(arcsiny) ?2arcsiny11?y2?fX(??arcsiny)(?11?y211?y2)?2?2(??arcsiny)?2(0?y?1)2? 0?y?1?2?fY(y)???1?y?0 other?
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概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号
第三章 多维随机变量及其分布（一）
一、填空题：
?Axy2,0?x?1,0?y?11、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)??，则常数
?0,其他A?1/6 。
1?????????x21y31f(x,y)dxdy?A?xdx?ydy?A|0|0?6A 00231122、设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)??数A? 4/? 。
2?Aarctanx?arctany,x?0,y?0，则常
?0,其他1?F(??,??)?Alimarctanxlimarctany?Ax??y???24
二、计算题：
1．在一箱子中装有12只开关，其中2只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验： （1）放回抽样；（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下： X???0若第一次出的是正品?0若第二次出的是正品 ， Y??
?1若第一次出的是次品?1若第二次出的是次品试分别就（1），（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。
解：1．（1）放回抽样 （2）不放回抽样
Y 0 1 Y 0 1
X X
0 25/36 5/36 0 15/22 5/33
1 5/36 1/36 1 5/33 1/66
2．设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求
X Y 13（1）P{?X?,0?Y?4}，
2224
12312341/4001/161/161/401/401/161/160（2）P{1?X?2,3?Y?4}
13P{?X?,0?Y?4}22解：（1）?P(X?1,Y?2)?P(X?1,Y?3)?P(X?1,Y?1)，
?1/4P{1?X?2,3?Y?4}（2）?P(X?1,Y?3)?P(X?1,Y?4)?P(X?2,Y?3)?P(X?2,Y?4)
?5/16
3．设随机变量(X,Y)的联合分布律如表：
求：（1）a值； （2）(X,Y)的联合分布函数F(x,y) （3）(X,Y)关于X，Y的边缘分布函数FX(x)和FY(y) 解：（1）1/4+1/4+1/6+a=1,a=1/3
Y ?1 0 X 1 1/4 1/4 2 1/6 a ?0?1??4??5F(x,y)??（2）?12?1?2??1?（3）
x<1或y<-11?x?2,?1?y?0x?2,?1?y?01?x?2，y?0x?2,y?0
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