1、向量与空间几何 向量：向量表示((a^b));
向量的模? 向量的大小叫做向量的模? 向量a、?a、AB的模分别记为|a|、|a|、|AB|? 单位向量? 模等于1的向量叫做单位向量?
零向量? 模等于0的向量叫做零向量? 记作0或0? 零向量的起点与终点重合? 它的方向可以看作是任意的?
向量的平行? 两个非零向量如果它们的方向相同或相反? 就称这两个向量平行? 向量a与b平行? 记作a // b? 零向量认为是与任何向量都平行? 向量运算(向量积)； 1． 向量的加法 2. 向量的减法
3．向量与数的乘法
设a?(ax? ay? az)? b?(bx? by? bz)
即 a?axi?ayj?azk? b?bxi?byj?bzk ? ?
则 a?b ?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k ?(ax?bx? ay?by? az?bz)? a?b? (ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k?(ax?bx? ay?by? az?bz)?
?a??(axi?ayj?azk) ?(?ax)i?(?ay)j?(?az)k ?(?ax? ?ay? ?az)? 向量模的坐标表示式 |r|?x2?y2?z2
点A与点B间的距离为 |AB|?|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2
向量的方向：向量a与b的夹角 当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时? 两个向量之间的不超过?的夹角称为向量a与b的夹角? 记作(a,^ b)或(b,^ a)? 如果向量a与b中有一个是零向量? 规定它们的夹角可以在0与?之间任意取值? 类似地? 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角?
数量积??对于两个向量a和b??它们的模?|a|、|b|?及它们的夹角? 的 余弦的乘积称为向量a和b的数量积??记作a?b??即
a·b?|a| |b| cos? ??
数量积与投影??
由于|b| cos? ?|b|cos(a?^ b)???当a?0时??|b| cos(a?^ b)?是向量 b在向量a的方向上的投影??于是a·b???|a| Prj ab?? 同理??当b?0时??a·b?? |b| Prj ba?? 数量积的性质?? (1)? a·a???|a| 2??
(2) 对于两个非零向量 a、b??如果 a·b??0??则 a?b 反之??如果a?b??则a·b??0??
如果认为零向量与任何向量都垂直??则a?b???a·b??0?
?????
两向量夹角的余弦的坐标表示??
设??(a? ^ b)? 则当a?0、b?0时??有?
cos??a?b?|a||b|axbx?ayby?azbz22222a2x?ay?azbx?by?bz
向量积??设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出??
c的模?|c|?|a||b|sin ? ??其中? 为a与b
c的方向垂直于a与b所决定的平面??c的指向按右手规则从a转向b来确定??
那么??向量c叫做向量a与b的向量积??记作a?b??即 c?? a?b???坐标表示??
ijk a?b? axayaz?aybzi?azbx j?axbyk?aybxk?axbz j?azbyi
bxbybz ??( ay bz ? az by) i ? ( az bx ? ax bz) j ? ( ax by ? ay bx) k??? 向量的方向余弦?
设r?(x? y? z)? 则 x?|r|cos?? y?|r|cos?? z?|r|cos? ? cos?、cos?、cos? 称为向量r的方向余弦?
y co?s?x? cos??? cos??z? 从而 (cos?, cos?, cos?)?1r?er
|r||r||r||r|向量的投影
向量在轴上的投影
设点O及单位向量e确定u轴?
任给向量r? 作OM?r? 再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M?(点M?叫作点M在u轴上的投影)? 则向量OM?称为向量r在u轴上的分向量? 设OM???e? 则数?称为向量r在u轴上的投影? 记作Prjur或(r)u ?
按此定义? 向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax? ay? az就是a在三条坐标轴上的投影? 即
ax?Prjxa? ay?Prjya? az?Prjza? 投影的性质?
性质1 (a)u?|a|cos ? (即Prjua?|a|cos ?)? 其中?为向量与u轴的夹角? 性质2 (a?b)u?(a)u?(b)u (即Prju(a?b)? Prjua?Prjub)? 性质3 (?a)u??(a)u (即Prju(?a)??Prjua)?
空间方程：
曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)； (1)椭圆锥面
由方程x2?y2?z2所表示的曲面称为椭圆锥面?
22???ab
(2)椭球面
由方程x2?y2?z2?1所表示的曲面称为椭球面?
222abc(3)单叶双曲面
2y2z2x由方程2?2?2?1所表示的曲面称为单叶双曲面? abc(4)双叶双曲面
由方程x2?y2?z2?1所表示的曲面称为双叶双曲面?
222abc(5)椭圆抛物面
2y2x 由方程2?2?z所表示的曲面称为椭圆抛物面 ab(6)双曲抛物面?
由方程x2?y2?z所表示的曲面称为双曲抛物面?
22ab椭圆柱面x2?y2?1?
22ab2y2x双曲柱面2?2?1? ab抛物柱面x2?ay? ?
直线方程(参数方程和投影方程) 空间直线的一般方程
空间直线L可以看作是两个平面?1和?2的交线? ??
如果两个相交平面?1和?2的方程分别为A1x?B1y?C1z?D1?0和A2x?B2y?C2z?D2?0? 那么直线L上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程? 即应满足方程组
?A1x?B1y?C1z?D1?0?Ax?By?Cz?D?0??
222?2空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量???如果一个非零向量平行于一条已知直线? 这个向量就叫做这条直线的方向向量? 容易知道? 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量?
确定直线的条件???当直线L上一点M 0(x0? y0? x0)和它的一方向向量s???(m? n? p)为已知时? 直线L的位置就完全确定了?
直线方程的确定???已知直线L通过点M0(x0? y0? x0)? 且直线的方向向量为s???(m? n? p)? 求直线L的方程?
设M (x? y? z)在直线L上的任一点? 那么 (x?x0? y?y0? z?z0)//s?? ?从而有 ?
x?x0y?y0z?z0? ??mnp这就是直线L的方程? 叫做直线的对称式方程或点向式方程