鞍山师范学院
本科毕业生毕业论文开题
题目：浅谈矩阵的秩及其应用系别：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学年级：姓名：导师：张立新
报告
13级 2班 杨笑
（一）选题意义
1. 理论意义：
高等代数作为数学专业基础课程之一，矩阵理论又是它主要的内容，其中矩阵的秩特别重要，它是反映矩阵固有性质的一个重要概念。不管是数学专业还是非数学专业，掌握矩阵的秩的定义以及简单性质，有助于我们解决一些基本的矩阵的秩的相关问题。通过本篇论文,可以让我们对矩阵的秩有更加深刻的理解,及灵活运用矩阵的秩分析相关问题有一定的意义和作用。 2. 现实意义：
矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始末，是矩阵的一个重要的本质属性，在解线性方程组，判断线性空间中点线面的位置关系，以及在解析几何中，判断空间两直线位置关系等领域都有广泛的应用。
（二）论文综述
1、国内外研究现状及分析：
矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具。最初，矩阵概念的产生是作用于解线性方程组，英国数学家凯莱在矩阵论的研究中作出了巨大贡献，定义了矩阵的秩、初等因子、矩阵初等变换等概念，并且讨论了矩阵初等变换的一些重要性质，同时，弗罗伯纽斯的贡献也不是不可磨灭的，在凯莱的基础上，引进了正交矩阵、矩阵的相似变换等概念，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。矩阵本身所具
有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。
矩阵的应用也是相当广泛的，不仅仅是在数学领域，在物理、力学、科技等方面也发挥了不可忽视的作用，目前，虽然很多数学家在矩阵的秩的研究中做出了很多贡献，但是，矩阵的秩作为矩阵的一个重要性质，在高等代数、几何空间、数学分析等方面都有密切关系，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用。在解析几何中,矩阵的秩可用来判断空间中两直线、两平面及直线和平面之间的关系。在控制论中,矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的,或可观察的。此外,矩阵的秩也可用来判定向量组的线性相关性、两个向量组之间的等价、求向量组的极大无关组、向量组的线性表示、求齐次线性方程组的基础解系、求解非齐次线性方程组等等。分块矩阵是矩阵论中一个比较重要的内容，它的应用研究非常广泛和深刻，特别是在高等代数和线性代数中分块矩阵的应用更加广阔，例如在计算行列式、求逆矩阵及矩阵的秩等方面，都有着很重要的应用。但国内一些专家对其研究主要是在证明和计算等方面。如研究用分块矩阵解决行列式和方程组等问题，研究用分块矩阵解循环分块矩阵方程问题，研究用分块矩阵求逆矩阵问题。但在分块矩阵的推广方面很少有研究，难以创新，但分块矩阵的应用的研究不能仅仅停留于现在这个程度，应该使其推广和应用到其它领域之中，使之能够成为我们学习和研究便利的工具。所以矩阵依然有着很大的研究价值。