《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版习题解答

《初等数论》习题解答(第三版)广东石油化工学院

又当??[0,1)时,f(?)?0?0?0,???R,f(?)?0,

?[??n]?[n?]。

i?0n?11[评注]:[证一]充分体现了 常规方法的特点,而[证二]则表现了较高的技巧。 3.设?,?是任意二实数,证明: (i) [?]?[?]?[???]或[???]?1 (ii) [2?]?[2?]?[?]?[???]?[?] 证明:(i)由高斯函数[x]的定义有

??[?]?r,??[?]?s,0?r?1;0?s?1。则

????[?]?[?]?r?sr,?s ?1 当r?s?0时,[???]?[?]?[?] 当r?s?0时,[???]?[?]?[?]?1

故 [???]?[?]?[?]或[???]?1?[?]?[?] (ii)设??[?]?x,??[?]?y,0?x,y?1, 则有0?x?y?{?}?{?}?2 下面分两个区间讨论:

①若0?x?y?1,则[x?y]?0,所以[???]?[?]?[?],所以

[2?]?[2?]?[2[?]?2x]?[2[?]?2y]?2[?]?2[?]?2([x]?[y])?2[?]?2[?]?[?]?[?]?[?]?[?]?[?]?[???]?[?]

②若1?x?y?2,则[x?y]?1,所以[???]?[?]?[?]?1。 所以

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[2?]?[2?]?[2[?]?2x]?[2[?]?2y]?2[?]?2[?]?2([x]?[y])?2[?]?2[?]?2([x]?[1?x])x?1?y?????

?[?]?[?]?[?]?[?]?2?2([x]?[?x])?2[?]?2[?]?1?[?]?[???]?[?](ii)(证法2)由于?,?对称,不妨设{?}?{?}

[2?]?[2?]?[2([?]?{?})]?[2([?]?{?})]

?2[?]?2[?]?[2{?}]?[2{?}]

?2[?]?2[?]?[{?}?{?}]

?[?]?[?]?([?]?[?]?[{?}?{?}]) ?[?]?[?]?[[?]?{?}?[?]?{?}]

?[?]?[???]?[?]

4. (i) 设函数错误!未找到引用源。在闭区间Q?x?R上是连续的,并且非负,证明:和式

表示平面区域Q?x?R,0?y?f(x)内的整点(整数坐标的点)的个数. (ii) 设p,q是两个互质的单正整数,证明:

(iii) 设错误!未找到引用源。,T 是区域错误!未找到引用源。 内的整点数,证明:

(iv) 设错误!未找到引用源。,T 是区域错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,

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错误!未找到引用源。 内的整点数,证明:

证明:(略)

5. 设错误!未找到引用源。任一正整数,且错误!未找到引用源。,p 是质数,错误!未找到引用源。,证明:在错误!未找到引用源。的标准分解式中,质因数p的指数是

其中错误!未找到引用源。.

证明:在错误!未找到引用源。的标准分解式中,质因数p的指数有限,即

错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。

所以

第二章 不定方程 §2.1 习题

1、解下列不定方程 a)15x?25y? 1 00b)306x?360y?630

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解:a) 原方程等价于:3x?5y?20 显然它有一个整数解 x0?10,y0??2 ,

故一般解为 ?t?x?10?5(t?0?,1,?2, )y??2?3t?b)原方程等价于:17x?20y?35 显然它有一个整数解 x0??7?35,y0??6?35

故一般解为 ??2t0?x??7?35(t?0?,1,?2, )?1t7?y??6?352、把100分成两份,使一份可被7整除,一份可被11整除。 解:依题意 即求 7x?11y?100 的正整数解,解得 x0?8,y0?4

一般解是: ??x?8?11t(t?0,?1,)

?y?4?7tb?0,(a,b?)

但除 t?0外无其他正整数解,故有且只有 100?56?44 3、证明:二元一次不定方程 ax?by?,Na?0, 的非负整数解为 ?? 或 ???1

?ab??ab?证明:当N?0时,原方程没有整数解,而 ???1?0 故命题正确

?ab? 当N?0时,原方程有且只有一个非负整数解 ?0,0? 而 ???0 ???1?1

?ab??ab? 因为 ?a,b??1 所以

原方程有整数解 ?x0,y0?,y0?(?1)n?1?q1, 其中

?N??N??N??N??N?,qn?1?N,x0?(?1)n?q2,,qn?1?N

a??q1,q2,q3,b,qn?,由于a?b?0,故x0,y0中一正一负,可设x?0,y?0

原方程的一般解是:??x?x0?bt?t?0,?1,y?y?at0??

要求x0?bt?0,y0?at?0?仅当 ?x0y?t??0, bay0?y??y?是整数时,才能取 t???0? ,否则 t???0? a?a??a? 14 / 77

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故这个不等式的整数解个数T 是 :

当是整数时 T??0????0??1??0???0??1

?b??a??b??a?因而 ????0???0??T????1

?ab??b??a??ab?当

?x??y??x??y??N??x??y??N?y0?x??y??x??y?不是整数时 T??0????0???0???0??1 a?b??a??b??a???x0??y0???b???a??N??????因而 ???? 所以 ?(m)

?ab???x0??y0??b???a??1??????

?x?x0?bt证明2:二元一次不定方程ax ? by = N的一切整数解为?,t?Z,于

y?y?at0?是由x ? 0,y ? 0得?整数个数为

4、证明:二元一次不定方程 ax?by?N,(a,b)?1,a?1,b?1,当 N?ab?a?b 时有非负整数解,N?ab?a?b 则不然。

证明:先证后一点,当 N?ab?a?b时,原方程有非负整数解 ?x0,y0? 则d?(m1,m2).

y0xyxN,故此区间内的?t?0,但区间[?0,0]的长度是

ababab[N]或[N]? 1。

abab?bx0?1,ay0?1?x0?1?bk,y0?1?ah,k?1,h?1

?ab?k?h??ab,k?h?2,这是不可能的。

次证,当N>ab-a-b时,因(a,b)=1,故原方程有整数解(x0,y0),一般解是要求x0-bt?0,y0?at?0???x?x0?bty?y0?at(t?0,?1,)y0x?t?0会证明存在满足这个不等式的整数t?t0可取使abx0?bt0?r(0?r?b)于是对于这个t0有:

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