《初等数论》习题解答（第三版）广东石油化工学院
又当??[0,1)时,f(?)?0?0?0,???R,f(?)?0，
即
?[??n]?[n?]。
i?0n?11[评注]：[证一]充分体现了 常规方法的特点，而[证二]则表现了较高的技巧。 3．设?，?是任意二实数，证明： (i) [?]?[?]?[???]或[???]?1 (ii) [2?]?[2?]?[?]?[???]?[?] 证明：（i）由高斯函数[x]的定义有
??[?]?r,??[?]?s,0?r?1;0?s?1。则
????[?]?[?]?r?sr,?s ?1 当r?s?0时,[???]?[?]?[?] 当r?s?0时,[???]?[?]?[?]?1
故 [???]?[?]?[?]或[???]?1?[?]?[?] （ii）设??[?]?x,??[?]?y,0?x,y?1， 则有0?x?y?{?}?{?}?2 下面分两个区间讨论：
①若0?x?y?1，则[x?y]?0，所以[???]?[?]?[?]，所以
[2?]?[2?]?[2[?]?2x]?[2[?]?2y]?2[?]?2[?]?2([x]?[y])?2[?]?2[?]?[?]?[?]?[?]?[?]?[?]?[???]?[?]
②若1?x?y?2，则[x?y]?1，所以[???]?[?]?[?]?1。 所以
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[2?]?[2?]?[2[?]?2x]?[2[?]?2y]?2[?]?2[?]?2([x]?[y])?2[?]?2[?]?2([x]?[1?x])x?1?y?????
?[?]?[?]?[?]?[?]?2?2([x]?[?x])?2[?]?2[?]?1?[?]?[???]?[?]（ii）（证法2）由于?，?对称，不妨设{?}?{?}
[2?]?[2?]?[2([?]?{?})]?[2([?]?{?})]
?2[?]?2[?]?[2{?}]?[2{?}]
?2[?]?2[?]?[{?}?{?}]
?[?]?[?]?([?]?[?]?[{?}?{?}]) ?[?]?[?]?[[?]?{?}?[?]?{?}]
?[?]?[???]?[?]
4. (i) 设函数错误！未找到引用源。在闭区间Q?x?R上是连续的，并且非负，证明:和式
表示平面区域Q?x?R，0?y?f(x)内的整点（整数坐标的点）的个数. (ii) 设p，q是两个互质的单正整数，证明：
(iii) 设错误！未找到引用源。，T 是区域错误！未找到引用源。 内的整点数，证明：
(iv) 设错误！未找到引用源。，T 是区域错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，
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错误！未找到引用源。 内的整点数，证明：
证明：(略)
5. 设错误！未找到引用源。任一正整数，且错误！未找到引用源。，p 是质数，错误！未找到引用源。，证明：在错误！未找到引用源。的标准分解式中，质因数p的指数是
其中错误！未找到引用源。.
证明：在错误！未找到引用源。的标准分解式中，质因数p的指数有限，即
错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。
所以
而
第二章 不定方程 §2．1 习题
1、解下列不定方程 a)15x?25y? 1 00b)306x?360y?630
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解：a) 原方程等价于：3x?5y?20 显然它有一个整数解 x0?10,y0??2 ，
故一般解为 ?t?x?10?5(t?0?,1,?2, )y??2?3t?b)原方程等价于：17x?20y?35 显然它有一个整数解 x0??7?35,y0??6?35
故一般解为 ??2t0?x??7?35(t?0?,1,?2, )?1t7?y??6?352、把100分成两份，使一份可被7整除，一份可被11整除。 解：依题意 即求 7x?11y?100 的正整数解，解得 x0?8,y0?4
一般解是： ??x?8?11t(t?0,?1,)
?y?4?7tb?0,(a,b?)
但除 t?0外无其他正整数解，故有且只有 100?56?44 3、证明：二元一次不定方程 ax?by?,Na?0, 的非负整数解为 ?? 或 ???1
?ab??ab?证明：当N?0时，原方程没有整数解，而 ???1?0 故命题正确
?ab? 当N?0时，原方程有且只有一个非负整数解 ?0,0? 而 ???0 ???1?1
?ab??ab? 因为 ?a,b??1 所以
原方程有整数解 ?x0,y0?,y0?(?1)n?1?q1, 其中
?N??N??N??N??N?,qn?1?N,x0?(?1)n?q2,,qn?1?N
a??q1,q2,q3,b,qn?，由于a?b?0，故x0,y0中一正一负，可设x?0,y?0
原方程的一般解是：??x?x0?bt?t?0,?1,y?y?at0??
要求x0?bt?0,y0?at?0?仅当 ?x0y?t??0， bay0?y??y?是整数时，才能取 t???0? ，否则 t???0? a?a??a? 14 / 77
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故这个不等式的整数解个数T 是 ：
当是整数时 T??0????0??1??0???0??1
?b??a??b??a?因而 ????0???0??T????1
?ab??b??a??ab?当
?x??y??x??y??N??x??y??N?y0?x??y??x??y?不是整数时 T??0????0???0???0??1 a?b??a??b??a???x0??y0???b???a??N??????因而 ???? 所以 ?(m)
?ab???x0??y0??b???a??1??????
?x?x0?bt证明2：二元一次不定方程ax ? by = N的一切整数解为?，t?Z，于
y?y?at0?是由x ? 0，y ? 0得?整数个数为
：
4、证明：二元一次不定方程 ax?by?N,(a,b)?1,a?1,b?1，当 N?ab?a?b 时有非负整数解，N?ab?a?b 则不然。
证明：先证后一点，当 N?ab?a?b时，原方程有非负整数解 ?x0,y0? 则d?(m1,m2).
y0xyxN，故此区间内的?t?0，但区间[?0,0]的长度是
ababab[N]或[N]? 1。
abab?bx0?1,ay0?1?x0?1?bk,y0?1?ah,k?1,h?1
?ab?k?h??ab,k?h?2，这是不可能的。
次证，当N>ab-a-b时，因(a，b)=1，故原方程有整数解（x0，y0），一般解是要求x0-bt?0，y0?at?0???x?x0?bty?y0?at(t?0,?1,)y0x?t?0会证明存在满足这个不等式的整数t?t0可取使abx0?bt0?r(0?r?b)于是对于这个t0有：
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