考虑到 ?2??3?0 于是有 ?1??4
例4 半径为R1的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着，其内外半径分别为R2、R3，使内球带电q，球壳带电Q，试求：
（1）电势分布的表示式；
（2）用导线连接球和球壳后的电势分布； （3）外壳接地后的电势分布。
解 （1）根据静电平衡条件，导体内场强为零。可知球壳内表面感应电荷为–q，且均匀分布；导体球所带电量q均匀分布在导体球表面。由电荷守恒得导体球壳外表面均匀分布电量(Q+q)，所以静电平衡后空间电势分布可视为三个均匀带电球面的电势叠
Q加。均匀带电球面电势为
?q?4??R(r?R)?0U???q(r?R)??4??0rqR1R3R2
图9—3
1?qqq?Q????RR3?1R2?qqq?Q????rR2R3?所以 r?R1， U1?4??0?? ???? ??R1?r?R2，U2?14??0R2?r?R3r?R3，
，U3?q?Q4??0R3q?Q4??0r
U4?
136
（2）导体连接后，导体球带电量q与球壳内表面感应电荷–q中和，导体壳与导体球等势，电荷分布在导体壳外表面，电量为q?Q，所以
r?R3， r?R3，
U1'?U2'?U3'? U4'?q?Q4??0rq?Q4??0R3
（3）外壳接地后，外表面电荷q+Q被中和，则为两均匀带电球面电势叠加
r?R1， U1''??qq??? ??4??0r?RR2??11?qq???? ?4??0r?rR2??1R1?r?R2，U2''?r?R2， U3''?U4''?0
例5 已知导体球半径为R1，带电量为q。一导体球壳与球
同心，内外半径分别为R2和R3，带电量为Q，
Q如图9—4所示。求：
qR1（1）场强的分布；
R2（2）球和球壳的电势V1和V2以及它们
R3的电势差；
（3）若球壳接地，V1和V2以及电势差；
图9—4 （4）用导线连接球与球壳后V1和V2的
值。
解 （1）先确定电荷的分布：因内球表面带电量为q，则球壳内表面的感应电荷为-q；又因球壳所带的电量为Q，根据电荷守恒定律，球壳外表面的带电量一定为q+Q。下面用两种方法求此带电系统的场强分布。
137
方法一：用高斯定理求解。因电荷分布具有球对称性，可用高斯定理求场强。取以半径为r的同心球面为高斯面。
当r ?E?dSS1S2?0， ∴4?r2E?0，即E?0； q当R1 当R2 q?Q4??0r2q?q?0q?Q， ∴4?r2E?0，即E?0； ，∴4?r2E?q?Q?SE?dS??0?0， 即 E? 。 方法二：利用场强叠加原理求E分布。 空间任意一点的场强都可以看为三个带电量分别为q、- q和q+Q的带电球面在该点产生的场强的矢量和。设三个带电球面产生的场强大小分别为E1、E2和E3，利用均匀带电球面的场强公式可得 ?0?E1??q?4??r20?r?R1r?R1 ?0?E2??q?4??r20??0?E3??q?Q?4??r20?r?R2r?R2 r?R3r?R3 根据场强的叠加原理，空间任意一点的总场强 138 E?E1?E2?E3 所以，场强大小分布为 ?0?q?2?4??0r? E???0?q?Q?2??4??0rr?R1R1?r?R2R2?r?R3r?R3 （2）求球体和球壳的电势及它们的电势差。 方法一：用电势定义式Vp?球的电势： V1????pE?dl计算。 ??R1E?dl?1R1?R2R1q4??0r)?2dr??R3R20dr???R3q?Q4??0r2drq4??0(?1R2q?Q4??0R3q?Qq?Q4??0R3 球壳的电势： V2???R3E?dl??q?R34??0r2dr? 球与球壳的电势差： U?V1?V2?4??(01R1?1R2) 方法二：用电势叠加原理计算。 空间任一点的电势都可以看作这三个带电球面在该点所产生的电势的代数和。利用均匀带电球面产生电势的公式 139 ?q?4??R?0V???q??4??0rq4??0r?R r?R同样可以得到 V1?(1R1?1R2q)?1R1q?Q4??0R3?1R2) ， V2?q?Q4??0R3， ∴ U?V1?V2?4??(0 （3）若导体球接地，球壳外表面电荷中和。用高斯定理可求 得场强分布 ?0?q?E??2?4??0r?0?r?R1R1?r?R2 r?R2dr?q4??0所以得 V1??R2R1q4??0r2?R3R20dr?1R2q4??0(1R1?1R2) ，V2?0， ∴ U?V1?V2?(1R1?) （4）用导线联结球与球壳时，球与球壳内表面电荷中和，导体球壳外表面带电量为q+Q。这时场强的分布为 ?0?E??q?Q?4??r20?r?R3r?R3 因球和球壳相联，所以它们的电势相等，即 V1?V2???R3q?Q4??0r2dr?q?Q4??0R3 140