课时作业27 函数的单调性与导数(2)
知识点一 已知函数单调性求参数的值
1.若函数f(x)＝x＋bx＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝__________，c＝__________.
3
答案 － －6
2
解析 f′(x)＝3x＋2bx＋c，由题意知－1 程3x＋2bx＋c＝0的两个根，因此b＝－，c＝－6. 2 知识点二 已知函数单调性求参数的取值范围 2.已知函数f(x)＝－x＋ax－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－3]∪[3，＋∞) B．[－3，3] C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－3，3) 答案 B 解析 由题意得f′(x)＝－3x＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，且仅在有限个点上f′(x)＝0，则有Δ＝4a－12≤0，解得－3≤a≤3. 1 3．已知f(x)＝2ax－2，若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，则a的取值范围为________． 2 2 3 2 23 2 x答案 [－1，＋∞) 2解析 由已知得f′(x)＝2a＋3. x∵f(x)在(0,1]上单调递增， 1 ∴f′(x)≥0，即a≥－3在x∈(0,1]上恒成立． x1 而g(x)＝－3在(0,1]上单调递增， x∴g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1. 知识点三 比较大小 4.已知函数f(x)＝x＋ln x，则有( ) A．f(e) 11 解析 f′(x)＝＋， 2xx - 1 - B．f(3) ∴x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 又2 12 5．已知函数f(x)＝x＋aln x(a∈R，a≠0)，求f(x)的单调区间． 2 解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋，当a>0时，f′(x)>0，函数f(x)只有单调递增区间为(0，＋∞)． 当a<0时，由f′(x)＝x＋>0，得x>－a；由f′(x)＝x＋<0，得0 (2)若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围． 易错分析 设函数y＝f(x)在某个区间内可导，则当f′(x)>0时，f(x)为增函数，其解集为函数f(x)的单调递增区间；当f′(x)<0时，f(x)为减函数，其解集为函数f(x)的单调递减区间．反之，如果f(x)在某区间上单调递增(单调递减)，则f′(x)>0(f′(x)<0)不一定恒成立，即f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在对应区间上单调递增(单调递减)的充分不必要条件．已知函数f(x)(含参数)的单调性确定参数的取值范围时，要注意不可忽略f′(x)＝0的情况． 解 (1)f′(x)＝3x－a. ①当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a>0时，令3x－a＝0得x＝±当x>当－223 axaxax3a； 3 3a3a或x<－时，f′(x)>0； 333a3a 因此f(x)在?－∞，－ ? ?3a??3a3a3a??? ?，?，＋∞?上为增函数，在?－，?上为减函数． 3??33???3 3a??3a3a3a??? ?，?，＋∞?上为增函数，在?－，?上为减3??33???3 综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数； 当a>0时，f(x)在?－∞，－函数． (2)因为f′(x)＝3x－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数， 所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]． 2 2 2 ? ? - 2 - 一、选择题 1．若函数f(x)＝xe，当x1 解析 ∵f′(x)＝e＋xe＝e(x＋1)，当x<－1时，有x＋1<0.∴f′(x)＝e(x＋1)<0. ∴f(x)在(－∞，－1)上为递减函数． ∵x1 1322 2．下图中有一个是函数f(x)＝x＋ax＋(a－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象， 3则f(－1)＝( ) xxxxxB．f(x1) 1A. 37C. 3答案 B 解析 f′(x)＝x＋2ax＋a－1，由图①与②知，它们的对称轴都为y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图③是f(x)的导函数的图象．由图③知f′(0)＝0，a<0，所以a＝－1，此1312 时f(x)＝x－x＋1，所以f(－1)＝－. 33 3．若f(x)＝ax＋bx＋cx＋d(a>0)为增函数，则( ) A．b－4ac>0 C．b＝0，c>0 答案 D 解析 ∵f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax＋2bx＋c≥0. ∴Δ＝4b－12ac≤0. ∴b－3ac≤0. 2 2 2 2 3 22 2 1 B．－ 315D．－或 33 B．b>0，c>0 D．b－3ac≤0 2 ?ππ?f(x)＝x＋sinx， 4．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈?－，?时，则( ) ?22? A．f(1) B．f(2) - 3 -