2014-2015学年度???学校1月月考卷
试卷副标题
1．（本题满分10分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
15【答案】①2； ②存在，DE?2 【解析】 试题分析：（1）如图（1），∵OD⊥BC， ∴BD=BC=， ∴OD=
=
；
（2）如图（2），存在，DE是不变的． 连接AB，则AB=
=2
，
∵D和E分别是线段BC和AC的中点， ∴DE=AB=
；
1
（3）如图（3），连接OC， ∵BD=x， ∴OD=
，
∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠2+∠3=45°， 过D作DF⊥OE．
∴DF==，由（2）已知DE=
，
∴在Rt△DEF中，EF=
=
，
∴OE=OF+EF=+=
∴y=DF?OE=??
=（0＜x＜）
考点: 1.垂径定理；2.勾股定理；3.三角形中位线定理
2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，⊥AB于点E． DE
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形； （2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3,点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析：（2）AD=DG+DM．（3）AD=DG-DN．理由见解析. 【解析】 试题分析：（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形； （2）延长ED使得DN=DM，连接MN，即可得出△NDM是等边三角形，利用△NGM≌△DBM即可得出BD=NG=DG+DM，再利用AD=BD，即可得出答案； （3）利用等边三角形的性质得出∠H=∠2，进而得出∠DNG=∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案． 试题解析：（1）证明：如图1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠ABC=60°，BC=
1AB． 2∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠DBA=∠A=30°． ∴DA=DB．
∵DE⊥AB于点E． ∴AE=BE=
1AB． 2∴BC=BE．
∴△EBC是等边三角形； （2）结论：AD=DG+DM．
证明：如图2所示：延长ED使得DN=DM，连接MN，
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