五一数学建模模拟赛
承 诺 书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 8 所属学校（请填写完整的全名）： 四川理工学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 郭亮 2. 陈欢 3. 肖望 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）
日期： 2015 年 4 月 24日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
五一数学建模模拟赛
编 号 专 用 页
评 阅 人 评 分 备 注 评阅编号（评阅前进行编号）：
评阅记录（评阅时使用）：
铅球抛掷问题
摘 要
本文探究了铅球投掷远度的影响因素等一系列问题。运用了牛顿力学等物理、数学知识建立了铅球投掷过程的数学物理模型探讨了出手速度v（m/s），出手高度h（m）,出手角度α（度），这三个影响铅球投掷水平位移s(m)的主要因素。然后运用数值法进行分析，计算各影响因素的主次关系。
问题一的分析：根据斜抛运动及牛顿运动定理求解铅球抛掷的水平距离s(m)以及求出水平距离s与出手速度v（cm/s）出手高度h（m），出手角度α（度）的影响。用Mathematica软件求出理论抛掷距离s0，并用Matlab软件对题中数据进行筛选，最终得到实际抛掷距离s0与理论值s之间的误差百分比。再分析表1、表2中的数据，得出出手速度ｖ在１０ｍ/ｓ~１５ｍ/ｓ之间变化，出手角度α在３７°~４３°之间变化，并对这之间的速度、角度分别求出对应的投掷距离。再运用Excel做出角度与投掷距离的关系图。最后得出运动员投掷铅球存在最佳角度，角度是在40°～42°间。
问题二的分析：以铅球抛掷的数学模型及问题一的分析，制定一份提高比赛成绩的训练方案。
关键词：铅球投掷、牛顿运动定律、出手角度、投掷距离、出手速度、出手高度
1
一、问题重述
众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45?的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩（以国际男子铅球比赛为例）。如图：
2.135m
45°
图1 铅球抛远场地
根据参考数据（见附录1），分析问题并建立相关数学模型讨论以下问题 ：
1、在铅球抛掷运动中是否存在最佳出手角度和出手速度，如果存在，建立模型分析，运动员应该更关心出手角度还是出手速度？如何折中？
2、建立合理的数学模型分析影响铅球投掷远度的因素，并为运动员制定一份提高比赛成绩的训练方案。
表1 李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩
姓名 李素梅 李素梅 斯卢皮 亚内克
出手速度v(m/s) 出手高度h(m) 出手角度?(o) 实测成绩s(m) 12.37 13.52 14.67 1.90 2.00 2.06
表2 我国优秀运动员的铅球投掷数据
37.60 38.69 40.00 20.95 20.30 21.41 姓名 李梅素 李梅素 黄志红 隋新梅 实测成绩s(m) 出手速度v(m/s) 出手角度?(o) 出手高度h(m) 19.32 19.80 21.01 21.49 13.16 13.51 13.58 13.95 40.27 38.69 37.75 39.00 2.02 2.00 2.02 2.04 2
李梅素 20.92 14.08 35.13 1.95 二、基本假设 1、假设铅球飞行过程中不受空气阻力。 2、忽略运动员自身因素对投掷铅球的影响。 3、出手速度与出手角度是相互独立的。 4、假设铅球每次抛出的轨道都在同一平面。 5、假设铅球被抛出时所受到的推力是恒定的。
三、问题一
3、1 问题一的分析
在平地上斜抛物体若不计空气阻力，为了取得最远水平距离，其投掷的最佳角度为45。，如图1。
。
然而，投掷运动员具有一定的高度，为了取得最远投掷距离，其投掷最佳角度并非45。从图2可见，用小于45。的投掷角，其投掷距离都比45。远。因此，此角度应视投掷出手高度及初速度而异。 4545。 。 h 图1 水平投掷
图2 在h高度投掷
3、2 问题一的求解 3、2、1 建立模型
铅球出手后就在一个竖直平面内作斜上抛运动，我们以铅球出手点的铅垂方向为y轴，以ｙ轴与地面的交点到铅球落地点方向为ｘ轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，求出铅球投掷距离Ｌ关于出手高度ｈ、出手速度ｖ、出手角度?三者的函数关系模型．
y α h s x 图3 铅球运动示意图
v
我们先求出铅球出手后的运动轨迹方程。设铅球出手后在时刻t的坐标为（x,y），由斜上抛运动的物理学知识得铅球运动方程：
αt?x?vcos? ?12y?vsinαt?gt?h?2? 消去参数t，得：
y??g2x?tanαx?h 222vcosα3