四川省内江市高中2018届高三第一次模拟考试题
数学（理工类）参考答案及评分意见
一．选择题（每小题5分，共12题，共60分）
1.B 2. C 3. B 4. D 5. A 6. C 7. D 8. D 9. B 10. C 11.A 12. D 二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分）
13.?5 14. 乙 15. (??,2) 16. ?三．解答题（共6小题，共70分）
n?117.解：（Ⅰ）∵数列{an}满足a1?2a2?4a3?????2an?n
n?2∴当n?2时，a1?2a2?4a3?????2an?1?n?1..............................2分
25 81........................................4分 2n?11当n?1时，an?1满足上式an?n?1
21∴数列{an}的通项公式an?n?1..............................................6分
21（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an?log2an?n?1?1?n...................................7分
2∴当n?2时，2n?1an?1，即an?∴(a1?log2a1)?(a2?log2a2)?(a3?log2a3)???(an?log2an)
111?(1?0)?(?1)?(2?2)???(n?1?1?n)
222111?(1??2???n?1)?[1?2?3???(n?1)]...............................9分
2221n2n?2?n?1??.........................................................12分
22218.解：（Ⅰ）∵bcosC?csinB?0
∴由正弦定理知，sinBcosC?sinCsinB?0...................................1分 ∵0?B??
∴sinB?0，于是cosC?sinC?0，即tanC??1..............................3分 ∵0?C?? ∴C?3?..................................................................5分 4（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，c2?a2?b2?2abcosC??5???10??2?2210?5?(?2)?25 2∴c?5....................................................................7分
222a?c?b5?25?1025.........................................9分 ∴cosB???2ac52?5?5
5
∵在?BCD中，CD?BD
1BC2∴?cosB...........................................................11分 CD∴CD?a?2cosB55?..............................................12分 2542?519.解：（Ⅰ）根据表1和图1得到列联表
合格品 不合格品 合计 甲套设备 48 2 50 乙套设备 43 7 50 合计 91 9 100 ...........................................................................3分 将列联表中的数据代入公式计算得
n(ad?bc)2100?(48?7?2?43)2K???3.053...............5分
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)50?50?91?92∵3.053?2.706
∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关................6分 （Ⅱ）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为品的概率约为
48，乙套设备生产的合格5043，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设50备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备..................9分 （Ⅲ）由题知，X~B(3,∴E(X)?3?1)................................................11分 2513......................................................12分 ?252520. 解：（Ⅰ）由切线方程知，当x??3时，y?0
∴f()??331a?b?0....................................................1分 22∵f?(x)?acosx?bsinx....................................................2分
∴由切线方程知，f?()??313a?b?1.......................................3分 226
∴a?13,b??..........................................................4分 2213?sinx?cosx?sin(x?).......................5分 223（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)?∴g(x)?kx?sinx，g?(x)?k?cosx.........................................6分 当k?0时，当x?[0,∴g(x)在[0,?2]时，g?(x)?0，故g(x)单调递减
?2]上的最大值为g(0)?0.........................................7分
②当0?k?1时
∵g?(0)?k?1?0，g?()?k?0
?2∴存在x0?(0,?2)，使g?(x0)?0
当x?[0,x0)时，g?(x)?0，故g(x)单调递减 当x?(x0,?2]时，g?(x)?0，故g(x)单调递增
∴g(x)在[0,]上的最大值为g(0)或g()....................................9分 22?k?又g(0)?0，g()??1
222?∴当0?k?时，g(x)在[0,]上的最大值为g(0)?0
?22??k?当?k?1时，g(x)在[0,]上的最大值为g()??1......................10分 ?222当k?1时，当x?[0,∴g(x)在[0,???2]时，g?(x)?0，故g(x)单调递增
?k?]上的最大值为g()??1..................................11分 2222?综上所述，当k?时，g(x)在[0,]上的最大值为g(0)?0
?22??k??1.........................12分 当k?时，g(x)在[0,]上的最大值为g()??222?21. 解：（Ⅰ）证明：设h(x)?e?x?1，则h?(x)?e?1 令h?(x)?0，得x?0
当x?(??,0)时，h?(x)?0，h(x)单调递减
xx
7
当x?(0,??)时，h?(x)?0，h(x)单调递增 ∴h(x)?h(0)?0，当且仅当x?0时取等号
∴ 对任意x?R，e?x?1..................................................2分 ∴当x?0时，f(x)?x?1 ∴当x??1时，x?ln(x?1)
∴当x?0时，f(x)?x?1?lnx..............................................4分 （Ⅱ）函数g(x)的定义域为(0,??)
当m?0时，由（Ⅰ）知，g(x)?e?lnx?2?m??m?0，故g(x)无零点.......6分
x当m?1时，g(x)?e?lnx?3，g?(x)?e?xxx1 x∵g?(1)?e?1?0，g?()?12e?2?0，且g?(x)为(0,??)上的增函数
∴g?(x)有唯一的零点x0?(,1)
当x?(0,x0)时，g?(x)?0，g(x)单调递减 当x?(x0,??)时，g?(x)?0，g(x)单调递增
∴g(x)的最小值为g(x0)?e0?lnx0?3.......................................8分 由x0为g?(x)的零点知，ex0x12?11?0，于是ex0?,x0??lnx0 x0x01?3 x0∴g(x)的最小值g(x0)?x0?由x0?(,1)知，x0?121?3?0，即g(x0)?0.................................10分 x011又g(2)?e?ln2?3?0，g()?e9?2ln3?3?0
92∴g(x)在(,x0)上有一个零点，在(x0,2)上有一个零点
∴g(x)有两个零点.........................................................11分
19
8
综上所述，m的最小值为1..................................................12分 (另法：由g(x)的最小值g(x0)?x0?11?2?m?0（其中x0?(,1)）得，整数m大于x02等于1，再用零点存在定理说明当m?1时g(x)有两零点.)
22.解：（Ⅰ）直线l的普通方程为x?3y?23，极坐标方程为?cos??3?sin??23 曲线C的普通方程为x?3?y2?3，极坐标方程为??23cos?..............4分 （Ⅱ）∵点M在直线l上，且点M的极坐标为(2,?) ∴2cos??23sin??23 ∵??(0,??2?2) ∴???6
∴射线OM的极坐标方程为???6
?????6联立?，解得??3 ???23cos??∴MN??N??M?1.....................................................10分
??4x?3,x?2?1??x?2 23.解：（Ⅰ）∵f(x)??2x?1,3?1??4x?3,x??3?∴f(x)在[,??)上单调递增，在(??,)上单调递减
13135.................................................5分 3522（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2a?b?
3∴f(x)的最小值为f()?∵2ab?a2?b2
22222222∴?2a?b??4a?b?4ab?4a?b?2(a?b)?3(2a?b)?5
213∴2a?b?5.............................................................10分
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