2013年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）（2013?山东）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ） 2+i 5+i A．B． 2﹣i C． D． 5﹣i 考点： 复数的基本概念． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数． 解答： 解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5， ∴z﹣3=∴z=5+i， =2+i ∴=5﹣i． 故选D． 点评： 本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题． 2．（5分）（2013?山东）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ） 1 3 5 9 A．B． C． D． 考点： 集合中元素个数的最值． 专题： 集合． 分析： 依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案． 解答： 解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}， ∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2； 当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1； 当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个． 故选C． 点评： 本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查分析运算能力，属于中档题． 3．（5分）（2013?山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，（﹣1）=（ ） 0 1 A．﹣2 B． C． 考点： 函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案． ，则f
2 D． 1
解答： 2解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x+， ∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2， 故选A． 点评： 本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题． 4．（5分）（2013?山东）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为 A． 考点： 直线与平面所成的角． 专题： 空间位置关系与距离；空间角． 分析： 利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（ ） B． C． D． 平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出． 解答： 解：如图所示， ∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角， ∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角． ∵==． ==，解得． =1， ∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1=又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴在Rt△AA1P中，∴故选B． ． ， 2
点评： 熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键． 5．（5分）（2013?山东）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（ ） 0 A．B． C． 个单位后，得到一个
D． 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案． 解答： 解：令y=f（x）=sin（2x+φ）， 则f（x+∵f（x+∴）=sin[2（x+）为偶函数， ， ）+φ]=sin（2x++φ）， +φ=kπ+∴φ=kπ+，k∈Z， ． ． ∴当k=0时，φ=故φ的一个可能的值为故选B． 点评： 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题． 3
6．（5分）（2013?山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示
的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（ ） 2 1 A．B． C． D． 考点： 简单线性规划． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可． 解答： 解：不等式组表示的区域如图， 当M取得点A（3，﹣1）时， z直线OM斜率取得最小，最小值为 k==﹣． 故选C． 点评： 本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题． 7．（5分）（2013?山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（ ） A．充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 充要条件 C．D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定． 专题： 简易逻辑． 分析： 根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是?p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案． 解答： 解：∵?p是q的必要而不充分条件， ∴q是?p的充分不必要条件，即q??p，但?p不能?q， 4
其逆否命题为p??q，但?q不能?p， 则p是?q的充分不必要条件． 故选A． 点评： 本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是?p的充分不必要条件，是解答的关键． 8．（5分）（2013?山东）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ） A．B． C． D．
考点： 函数的图象． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求． 解答： 解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B， 由当x=时，， 当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0． 由此可排除选项A和选项C． 故正确的选项为D． 故选D． 点评： 本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题． 9．（5分）（2013?山东）过点（3，1）作圆（x﹣1）+y=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ） A．2x+y﹣3=0 B． 2x﹣y﹣3=0 C． 4x﹣y﹣3=0 D． 4x+y﹣3=0 考点： 圆的切线方程；直线的一般式方程． 专题： 直线与圆． 分析： 由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可． 22解答： 解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）+y=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足． 故选A． 点评： 本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习． 22
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