第17讲 数列与数表
内容概述
通过观察数列或数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题，注意数表形式的多样性，计算时常常考虑周期性，或进行合理估算.
典型问题
兴趣篇
1．1，1，4，2，7，3，10，1，13，2，16，3，19，1，22，2，25，3，…，100．请观察上面数列的规律，问：(1)这个数列一共有多少项? (2)这个数列所有数的总和是多少?
答案：67；1783
解析：间隔是是等差数列。
2．观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(5，6，7)，(7，8，9)的规律，求：
(1)第20组中三个数的和； (2)前20组中所有数的和．
答案：120；1260 解析：（39，40，42），运用等差数列求和公式。
3．一个数列的第一项是l，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍．请问：
(1)第100项是多少? (2)前100项的和是多少?
答案：8；975
解析：按规律写：1,2,4,8,16,12,4,8,16,12……四个数为一个周期
4. 如图17-1，方格表中的数是按照一定规律填人的．请观察方格表，并填出“?”处的数．
答案：105
解析：四周数的差是一个等差数列。
5．如图17-2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问：
(1)100在第几行、第几列? (2)第20行第3列的数是多少?
答案：（1）第25行第6列；（2）79
解析：两行为一个周期。观察除以8的余数与在第几列之间的关系。
6．如图17-3，从4开始的自然数是按某种规律排列的，请问：
(1)100在第几行，第几列? (2)第5行第20列的数是多少?
答案：（1）第1第25列；（2）81 解析：两列为一个周期。
7. 如图17-4所示，把偶数2、4、6、8，排成5列．各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，请问： (1)100在第几行，第几列?
(2)第20行第2列的数是多少?
答案：（1）第15行第2列；（2）138
解析：八个数为一个周期，可以把每个数先除以2转化成简单数列。
8．如图17-5，从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问：
(1)100在第几行?100是这一行左起第几个数? (2)第25行左起第5个数是多少?
答案：（1）第14行左起第9个数；（2）321
解析：观察1，6，15…这样的数都是1加到行数之和。 3，10也是1一直加到行数之和。
9. 如图17-6，把从1开始的自然数排成数阵．试问：能否在数阵中放人一个3×3的方框，使得它围住的九个数之和等于：
(1)1997；(2)2016；(3)2349．
如果可以，请写出方框中最大的数．
答案：只有2349是可以的，最大为269.
解析：和一定是9的倍数，而且中心数必须是第二列到第6列的数。
10. 如图17-7，将1至400这400个自然数顺次填人20 x20的方格表中，请问：
(1)246在第几行，第几列?
(2)第14行第13列的数是多少? (3)所有阴影方格中数的总和是多少?
答案：（1）13行16列；（2）273；（8020） 解析：周期问题
拓展篇
1．1，100，2，98，3，96，2，94，1，92，2，90，3，88，2，86，l，84，…，0．请观察上面数列的规律，请问：
(1)这个数列中有多少项是2？ (2)这个数列所有项的总和是多少?
答案：（1）26项；（2）2652 解析：间隔数是等差数列。
2．一列由两个数组成的数组： (1，1)， (1，2)， (2，2)， (1，3)， (2，3)，(3，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)，(4，4)，(1，5)，…，请问：
(1)第100组内的两数之和是多少?
(2)前55组中“5”这个数出现了多少次? 答案：23；11次。
解析：数对前面的数规律为1，1，2，1，2,3,1,2,3,4，…后面的规律为：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…
3．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数．从这列数中取出连续的50个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少?如果从中取出连续的500个数，500个数的和最大又是多少?
答案：257；2510
解析：3,4,7,1,8,9,7,6,3,9，2,1，3,4,7,1,8,9,7,6,3,9，2,1…12个个数为一个周期。50个数是4个周期加上9,8最大。500个数求最大是41个周期加上8个最大的数，不加1,2,3,4即可。
4．如图17-8，把从1开始的自然数填在图上，1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OG上，8在射线OH上，9又回到射线OA上，如此循环下去，问：78在哪条射线上?射线OE上的第30个数是多少?
答案：射线OF上；237.
解析：八个数为一个周期，每条线上的数又组成一个等差数列。
5．如图17-9，将从5开始的连续自然数按规律填人数阵中，请问：
(1)123应该排在第几列?
(2)第2行第20列的数是多少?
答案：第24列；101.
解析：周期问题，等差数列。
6．如图17-10所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问：
(1)500在第几行，第几列? (2)第100行第2列是多少?
答案：第111行，第5列；448. 解析：周期问题。
7．如图17-11所示，数阵中的数字是按一定规律排列的．这个数阵中第60行左起第4个数字是多少?
答案：9
解析：第60行左起第4个数字是第476个数字。 1-9 9个
10-99 180个 100-194 285个
9+180+285=474个 所以第60行左起第4个数字是9
8．中国古代的纪年方法叫“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来