习题二
1. 设随机变量X的分布函数为
x?0,?0,?14,0?x?1,??F(x)??13,1?x?3,
?12,3?x?6,??x?6.?1,试求X的概率分布列及P(X?1)，P(X?1)，P(X?3)，P(X?3). 解: 随机变量X的分布列为 0 3 6 X 1 p 14 112 16 12 11； P(X?1)?P(0)?P(1)?F(1)?； 431112 P(X?3)?P(6)?； P(X?3)?P(3)?P(6)???.
2623 2. 设离散型随机变量X的分布函数为
x??1,?0,?a,?1?x?1,?F(x)??2
?3?a,1?x?2,?a?b,x?2.?且P(X?2)?12，试求a，b和X的分布列. 解：由分布函数的定义可知 a?b?1
又因为P(X?2)?12，则
7?2?1P(X?2)?P(X?2)?P(X?2)?F(2)?F(2?0)?a?b???a???2a?b?
6?3?2故 a?16， b?56.
3. 设随机变量X的分布函数为
x?1,?0,?F(x)??lnx,1?x?e,
?1,x?e.?则 P(X?1)?P(0)?试求P(X?2.5)，P(0?X?3.5)，P(1.5?X?2.5). 解: 根据题意X为连续型随机变量，则
P(X?2.5)?F(2.5?0)?F(2.5)?ln5?ln2，
P(0?X?3.5)?F(3.5)?F(0?0)?F(3.5)?F(0)?1，
P(1.5?X?2.5)?F(2.5?0)?F(1.5?0)?F(2.5)?F(1.5)?ln5?ln3。
4. 若P(X?x1)?1??，P(X?x2)?1??，其中x1?x2，试求P(x1?X?x2). 解: P(x1?X?x2)?P(X?x2)?P(X?x1)
?P(X?x2)?[1?P(X?x1)] ?1???[1?(1??)]?1????.
5. 一只口袋中有5个球，编号分别为1，2，3，4，5.从中任意取3个，以X表示取出的3个球中的最大号码. (1)求X的分布列；
(2)写出X的分布函数，并作图.
解：(1)根据题意X表示取出球中最大的号码，则其可能取值为3，4，5， 故 其分布列为
1Ck2?1C1 pk?P(X?k)?，k?3,4,5. 3C5即
X p (2)由分布函数的定义可知 3 110 4 310 x?3,3?x?4,
5 610 ?0,?1,??10F(x)??2?,?5??1,4?x?5,x?5.作图略.
6. 有三个盒子，第一个盒子装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球和2个黑球.现任取一个盒子，从中任取3个球,以X表示所取到的白球数.
(1)试求X的概率分布列；
(2)取到的白球数不少于2个的概率为多少？
解：(1)根据题意X表示所取到的白球数，则其可能取值为0,1,2,3， 故 其分布列为
k3?k3?k3?kC31C1kC41C21C3kC2 pk?P(X?k)?，k?0,1,2,3. ??3333C53C53C5即
X p (2)根据题意，所求概率为 0 16 1 12 2 310 3 130 P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)? 7. 掷一颗骰子4次，求点数6出现的次数的概率分布. 解：以X表示骰子点数出现6的次数，则X~B(4,) 故 其分布列为
k4?k1. 3161?k?1?? pk?P(X?k)?C4???1???6??6?即
，k?0,1,2,3,4.
X p 0 0.4823 1 2 3 0.0154 4 0.3858 0.1157 0.0008 8. 一批产品共有100件，其中10件是不合格品.根据验收规则，从中任取5件产品进行质量检验，假如5件中无不合格品，则这批产品被接受，否则就要重新对这批产品逐个检验. (1)试求5件中不合格品数X的分布列；
(2)需要对这批产品进行逐个检验的概率为多少？
解：(1)以X表示件产品中的不合格品数，则其可能取值为0，1，2，4，5.
故 其分布列为
k5?kC10C90 pk?P(X?k)?，k?0,1,2,3,4,5. 5C100 (2)根据题意，所求概率为
P(X?0)?1?P(X?0)?1?P(0)?0.4162.
9. 设某人射击命中率为0.8，现向一目标射击20次，试写出目标被击中次数X的分布列. 解：以X表示目标被击中的次数，则X~B(20,0.8) 故 其分布列为
kk20?k pk?P(X?k)?C20(0.8)(0.2)，k?0,1,2,?,20.
10. 某车间有5台车床，每台车床使用电力是间歇的，平均每小时有10分钟使用电力.假定每台车床的工作是相互独立的，试求
(1)同一时刻至少有3台车床用电的概率； (2)同一时刻至多有3台车床用电的概率.
解： 以X表示同一时刻用电车床的台数，则X~B(5,) 故 其分布列为
k5?k16?1??5? pk?P(X?k)?C?????6??6?k5，k?0,1,2,?,5.
(1)根据题意所求概率为
P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)?0.0355； (2)根据题意所求概率为
P(X?3)?1?P(X?3)?1?P(X?4)?P(X?5)?0.9967.
11. 某优秀的射击手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3.试求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率？
解：以X表示射击手命中环10的次数，则X~B(3,0.7) 故 其分布列为
kk3?k pk?P(X?k)?C3(0.7)(0.3)，k?0,1,2,3.
根据题意所求概率为
P(X?2)?1?P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)?0.784. 12. 设随机变量X和Y均服从二项分布，即X~B(2,p)，Y~B(4,p).若
P(X?1)?89，试求P(Y?1)?
解：根据题意随机变量X~B(2,p)，则
P(X?k)?C2p(1?p)又因为P(X?1)?89，则
P(X?1)?1?P(X?1)?1?P(X?0)?1?C2p(1?p)?则 Y~B(4,).
0?2? 故 P(Y?1)?1?P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?C4???3?0002kk2?k，k?0,1,2.
82?p?. 9323?1?80. ???381??4 13. 已知一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：
(1)每分钟恰有8次呼唤的概率； (2)每分钟呼唤次数大于8的概率.
解：以X表示交换台每分钟的呼唤次数，则X~P(4) 故 其分布列为
4k?4 pk?P(X?k)?e，k?0,1,2,?.
k! (1)根据题意所求概率为
48?4 p8?P(X?8)?e?0.0298；
8! (2)根据题意所求概率为
P(X?8)?1?P(X?8)?1?0.979?0.021.
14. 某公司生产的一种产品，根据历史生产记录可知，该产品的次品率为0.01，问该种产品300件中次品数大于5的概率为多少？
解：以X表示300件产品中的次品数，则X~B(300,0.01)
用参数为??np?300?0.01?3的泊松分布作近似计算，得所求概率为
3k?3 P(X?5)?1?P(X?5)?1??e?1?0.916?10.083. 9k!k?05 15. 保险公司在一天内承保了5000份同年龄段，为期一年的寿险保单，在合同有效期内
若投保人死亡，则公司需赔付3万元.设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各投保人是否死亡相互独立.求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率. 解：以X表示该年龄段投保人在一年内的死亡人数，则X~B(5000,0.0015) 用参数为??np?5000?0.0015?7.5的泊松分布作近似计算，得所求概率为
P(X?10)?10?Ck?0k5000(0.001)5(0.998)5k10?k7.5k?7.5 ??e?0.862.2k!k?010 16. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的
概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的车辆数不小于2的概率是多少？
解：以X表示该汽车站每天出事故的车辆数，则X~B(1000,0.0001) 用参数为??np?1000?0.0001?0.1的泊松分布作近似计算，得所求概率为
0.1k?0.1e?0. P(X?2)?1?P(X?2)?1??k!k?0 17. 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p，则失败的概率为q?1?p (0?p?1).
(1)将试验进行到第一次成功为止，求所需试验次数X的分布列.
(2)将试验进行到第r次成功为止，求所需试验次数Y的分布列.（此分布被称为负二项分
2布）
解：(1)根据题意，以X表示试验第一次成功为止所需试验次数，则X服从参数为p的几何分布，其分布列为
k?1 pk?P(X?k)?p(1?p)，k?1,2,??,(0?p?1)
(2)根据题意，以Y表示试验第r次成功为止所需试验次数，则Y的可能取值为r,r?1,?,r?m,?，（即在k次伯努利试验中，最后已此一定是成功，而前面k?1次中一定有r?1次是成功的，由二项分布得其概率为Ck?1p概率p），则其分布列为
r?1rk?r pk?P(X?k)?Ck?1p(1?p)，k?r,r?1,??,(0?p?1).
r?1r?1(1?p)k?r，再乘以最后一次成功的
18.一篮球运动员的投篮命中率为0.45，求他首次投中时累计已投篮次数X的分布列，并计算X为偶数的概率.
解：根据题意，以X表示篮球运动员首次投篮命中的投篮次数，则其分布列为
k?1 pk?P(X?k)?0.45(1?0.45)，k?1,2,??
故 篮球运动员首次投篮命中的投篮次数为偶数次的情况是互不相容的，即所求概率为
p??P(X?2k)??0.45(1?0.45)k?1k?1??2k?1?0.3548.
19. 设随机变量X的概率密度为
0?x?1,?x,?f(x)??2?x,1?x?2,
?0,其它.?试求P(X?1.5).
解：由概率密度函数的定义可知
P(X?1.5)??1.5??f(x)dx??xdx??(2?x)dx?0.875.
0111.5 20. 设随机变量X的概率密度为
??Acosx,f(x)???0,?试求：
(1)常数A; (2)X落在区间(0,x?,2 ?x?.2??4)内的概率.
?? 解：(1)由概率密度函数的正则性可知
1????f(x)dx???2??2Acosxdx?2A?A??41； 2 (2)根据题意，所求概率为
P(0?X??4)???40f(x)dx??012cosxdx?. 24 21. 设随机变量X的分布函数为
x?0,?0,?2 F(x)??Ax,0?x?1,
?1,x?1.?试求：
(1)常数A；
(2)X落在区间(0.3,0.7)内的概率； (3)X的概率密度.
解：(1)由分布函数的连续性可知
F(1?0)?lim?F(x)?lim?Ax?A?F(1)?1??A?1；
x?1x?12 (2)根据题意，所求概率为
P(0.3?X?0.7)?F(0.7)?F(0.3)?0.4； (3)由分布函数和密度函数的关系可知
?2x,0?x?1,f(x)?F?(x)??其它. ?0, 22. 某加油站每周补给一次油，如果这个加油站每周的销售量（单位：千升）为一随机变
量，其概率密度为