第4讲 功能关系 能量守恒定律
一、几种常见的功能关系及其表达式
力做功 合力的功 能的变化 动能变化 定量关系 W＝Ek2－Ek1＝ΔEk (1)重力做正功，重力势能减少 重力的功 重力势能变化 (2)重力做负功，重力势能增加 (3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 (1)弹力做正功，弹性势能减少 弹簧弹力的功 弹性势能变化 (2)弹力做负功，弹性势能增加 (3)WF＝－ΔEp＝Ep1－Ep2 只有重力、弹簧弹力做功 除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功 机械能不变化 机械能守恒ΔE＝0 (1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少 机械能变化 (2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少 (3)W其他＝ΔE 机械能减少 内能增加 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加 (2)摩擦生热Q＝Ff·x相对 一对相互作用的滑动摩擦力的总功 自测1 升降机底板上放一质量为100kg的物体，物体随升降机由静止开始竖直向上移动 5m时速度达到4m/s，则此过程中(g取10 m/s，不计空气阻力)( ) A．升降机对物体做功5800J B．合外力对物体做功5800J C．物体的重力势能增加500J D．物体的机械能增加800J 答案 A
二、能量守恒定律 1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变． 2．表达式
2
ΔE减＝ΔE增． 3．基本思路
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等； (2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等． 自测2 如图1所示，一质量均匀的不可伸长的绳索重为G，A、B两端固定在天花板上，现在最低点C施加一竖直向下的力将绳索缓慢拉到D点，在此过程绳索AB的重心位置将( )
图1
A．逐渐升高 C．先降低后升高 答案 A
解析 由题意知外力对绳索做正功，故机械能增加，重心升高，故选A.
命题点一 摩擦力做功与能量转化
1．静摩擦力做功
(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功． (2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零．
(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能． 2．滑动摩擦力做功的特点
(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果： ①机械能全部转化为内能；
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能．
(3)摩擦生热的计算：Q＝Ffx相对．其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对路程．
从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的总功的绝对值等于系统内能的增加量；从能量的角度看，其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量．
例1 (多选)如图2所示，一水平传送带以速度v匀速运动，将质量为m的小工件轻轻放到水平传送带上，工件在传送带上滑动一段时间后与传送带保持相对静止，在上述过程中( )
图2
12A．工件对传送带做功为－mv
212
B．传送带与工件间摩擦产生热量为mv
2C．传送带因为传送工件需要多做的功为mv
2
B．逐渐降低 D．始终不变
12
D．传送带对工件做的功为mv
2答案 BCD
解析 根据牛顿第二定律知工件的加速度大小为：a＝
μmg＝μg，工件的速度由零增大到vmvvv2
用时为：t＝＝，该时间内传送带的位移为：x＝vt＝，所以工件对传送带做功为：Wf
aμgμg＝
v2vt2
－Ffx＝－μmg·＝－mv，故A错误；传送带与工件间相对位移大小为：Δx＝vt－＝μg2v2v212
，摩擦产生热量为：Q＝μmgΔx＝μmg·＝mv，故B正确；传送带因为传送工件2μg2μg2
122
需要多做的功为：W＝Q＋mv＝mv，故C正确；在运动的过程中只有摩擦力对工件做功，由
212
动能定理可知，摩擦力对工件做的功等于工件动能的变化，即mv，故D正确．
2
变式1 如图3甲所示，长木板A放在光滑的水平面上，质量为m＝2kg的另一物体B(可看成质点)以水平速度v0＝2m/s滑上原来静止的长木板A的上表面．由于A、B间存在摩擦，之后
A、B速度随时间变化情况如图乙所示，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)( )
图3
A．木板获得的动能为2J B．系统损失的机械能为4J C．木板A的最小长度为2m D．A、B间的动摩擦因数为0.1 答案 D
解析 由题图乙可知，第1 s内A、B的加速度大小都为1 m/s，根据牛顿第二定律知二者1212质量相等，木板获得的动能为1 J，选项A错误；系统损失的机械能ΔE＝mv0－·2m·v22＝2 J，选项B错误；由v－t图象可求出二者相对位移大小为1 m，选项C错误；分析B的受力，根据牛顿第二定律，可求出μ＝0.1，选项D正确．
2
命题点二 功能关系的理解与应用
1．只涉及动能的变化用动能定理分析．
2．只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系分析．
3．只涉及机械能的变化，用除重力和弹簧的弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析． 例2 (2018·无锡市期中)如图4所示，楔形木块固定在水平面上，斜面AB、BC与水平面的夹角分别为53°、37°.质量分别为2m、m的两滑块P、Q通过不可伸长的轻绳跨过轻质定滑1
轮连接，轻绳与斜面平行．已知滑块P与AB间的动摩擦因数为，其他摩擦不计，在两滑块3运动的过程中( )
图4
A．Q动能的增加量等于轻绳对Q做的功 B．Q机械能的增加量等于P机械能的减少量 C．P机械能的减少量等于系统摩擦产生的热量 D．P克服绳子拉力做的功等于绳子拉力对Q做的功 答案 D
解析 在两滑块运动的过程中，Q沿斜面上升，轻绳的拉力和重力都对Q做功，由动能定理知Q动能的增加量等于轻绳对Q做的功与重力做功的代数和，故A错误．由于P下滑过程中要产生内能，所以Q机械能的增加量与系统摩擦产生的内能之和等于P机械能的减少量，故B错误．根据能量守恒定律知，P机械能的减少量等于系统摩擦产生的热量与Q机械能的增加量之和，故C错误．由题图可知，P与Q位移的大小是相等的，绳子对P与对Q的拉力大小也相等，所以P克服绳子拉力做的功等于绳子拉力对Q做的功，故D正确．
变式2 (多选)如图5所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°3
的固定斜面，其减速运动的加速度为g，此物体在斜面上能够上升的最大高度为h，则在这
4个过程中物体( )
图5
A．重力势能增加了mgh 1
B．机械能损失了mgh
2C．动能损失了mgh 1
D．克服摩擦力做功mgh
4答案 AB