第19讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
考纲要求 1.理解同角三角函数的基本关系sin x式：sinx＋cosx＝1，＝tan x. cos x22考情分析 20162全国卷Ⅲ，5 20162四川卷，11 20152陕西卷，6 命题趋势 利用同角三角函数的基本关系和诱导公式进行化简求值以及2．能利用单位圆中的三角函数线π推导出±α，π±α的正弦、余弦、2正切的诱导公式．
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：__sinα＋cosα＝1__. sin α
(2)商数关系：！！！ tan α＝
cos α2．三角函数的诱导公式
2
2
分值：4～5分 恒等变换，解决三角形内的相关问题． ?α≠kπ＋π，k∈Z? ###. ??2??公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝__cos_α__， tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.
公式二：sin(π＋α)＝__－sin_α__，cos(π＋α)＝__－cos_α__， tan(π＋α)＝__tan_α__.
公式三：sin(－α)＝__－sin_α__，cos(－α)＝__cos_α__， tan(－α)＝__－tan_α__.
公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝__－cos_α__， tan(π－α)＝－tan α. 3．必会结论
(1)特殊角的三角函数值
α sin α cos α 0 π 61 2π 4错误! π 3错误! 1 2π 21 π 3π 2－1 0 0 －1 1 错误! 错误! 0 0 1
tan α 0 错误! 1 错误! 不存在 0 不存在 (2)诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是诱导公式
k2＋α中的k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，
π
则正、余弦互变；若k是偶数，则函数的名称不变．“符号看象限”指的是k2＋α中，
2π
将α看成锐角时k2＋α所在的象限．
2
1．思维辨析(在括号内打“√”或“3”)． 13
(1)120°角的正弦值是，余弦值是－.( 3 )
22(2)同角三角函数关系式中的角α是任意角．( 3 ) (3)诱导公式中的角α可以是任意角．( 3 )
(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α关．( √ )
解析 (1)错误．sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝1
cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－.
2sin απ
(2)错误．在tan α＝中α≠kπ＋，k∈Z.
cos α2
π
(3)错误．对于正、余弦的诱导公式角α可以为任意角，而对于正切的诱导公式α≠
2＋kπ，k∈Z.
(4)正确．诱导公式的“符号看象限”中的符号是把任意角α都看成锐角时原函数值的符号，因而与α的大小无关.
1?π?2．若cos α＝，a∈?－，0?，则tan α＝( C )
3?2?A．－2
4
B．
2
4
3， 2
的大小无
π2
C．－22
2D．22
1221－＝－， 93
解析 由已知得sin α＝－1－cosα＝－
2
sin α
所以tan α＝＝－22.
cos α
sin α－cos α
3．若tan α＝2，则的值为( C )
sin α＋cos α1
A．－
31
C． 3解析
5
B．－
35D． 3
sin α－cos αtan α－12－11
＝＝＝. sin α＋cos αtan α＋12＋13
14．(20162四川卷)sin 750°＝！！！ ###.
21
解析 sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝. 2
?17π?－sin?－17π?＝！5．cos?－！ ???！4?4???
2 ###. ?17π?－sin?－17π?＝cos 17π＋sin 17π＝
解析 cos?－?4?4?44????
π?π?ππ22??cos?4π＋?＋sin?4π＋?＝cos ＋sin ＝＋＝2.
4?4?4422??
一 同角三角函数关系及其应用
同角三角函数关系在解题中的应用
(1)利用转化思想，对于sin α，cos α，tan α，由公式sinα＋cosα＝1，tan αsin α
＝进行转化，可以“知一求二”． cos α
(2)利用方程思想，对于sin α±cos α，sin αcos α，由下面三个关系式(sin α±cos α)＝1±2sin αcos α，(sin α＋cos α)＋(sin α－cos α)＝2，可以“知一求二”．
(3)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sinα，cosα及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sinα＋cosα＝1”代换后转化为“切”求解．
32
【例1】 (1)(20162全国卷Ⅲ)若tan α＝，则cosα＋2sin 2α＝( A )
464
A． 25
2
22
2
2
2
2
2
2
48B． 25
3