基于卡尔曼分解、系统解集结构，不变子空间等理论的系统BOBO稳定与李雅普诺夫稳定之间关系的分析
目录
第一章 矩阵论基础 ........................................................................................... - 1 -
1.1子空间与不变子空间 ........................................................................... - 1 - 1.2 线性定常系统解的结构 ....................................................................... - 1 - 第二章 控制论的相关概念 ............................................................................... - 2 -
2.1稳定性理论 ........................................................................................... - 2 - 2.2 能控性与能观性 .................................................................................. - 2 - 第三章 基于不变子空间的系统分析 ................................................................ - 3 -
3.1 不变子空间与系统的解集结构 ........................................................... - 3 - 3.2不变子空间与能控能观性 .................................................................... - 4 - 3.2.1 不变子空间与能控性 ....................................................................... - 4 - 3.3不变子空间与卡尔曼分解 .................................................................... - 6 - 第四章 BIBO稳定性和李雅普诺夫稳定的关系 ............................................ - 10 -
4.1 BIBO稳定的充要条件 ....................................................................... - 10 - 4.2 李雅普诺夫稳定的充要条件 ............................................................. - 10 - 4.3 渐进稳定的充要条件 ........................................................................ - 11 - 4.4 内部稳定必定BIBO稳定 ................................................................. - 11 - 4.5 外部稳定不一定内部稳定 ................................................................. - 11 - 4.6 临界稳定不一定BIBO稳定 ............................................................. - 12 - 4.7 特定初态的内部稳定性 ..................................................................... - 14 - 4.8 内部稳定与BIBO稳定等价条件 ...................................................... - 14 - 4.9 初始状态，输入矩阵，输出矩阵对状态稳定的影响 ....................... - 15 - 第五章 总结 .................................................................................................... - 17 - 第六章 参考文献 ............................................................................................. - 18 -
基于卡尔曼分解、系统解集结构，不变子空间等理论的系统BOBO稳定与李雅普诺夫稳定之间关系的分析
第一章 矩阵论基础
1.1子空间与不变子空间
1.1.1子空间
设W是数域P上线性空间V的非空子集，则W是V的线性子空间的充要条件是：
a) 若?,??W，则????W b) ??W，k?P,则k??W
1.2.1不变子空间
设T是线性空间V的一个线性变换，又W是V的一个子空间，若对于任意??W，都有T??W，即：
T(W)?W
则称W是线性变换T的不变子空间。
1.2 线性定常系统解的结构
??Ax?Bu?x考虑线性定常系统：?，系统解的结构具有以下形式：
?y?Cx?Du从零时刻开始:
从非零时刻开始： ,
其中，前一部分是零输入响应，后一部分是零状态响应，反映了线性系统的叠加原理。
在之后的分析中，如果没有特别说明，均在零时刻开始讨论。
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第二章 控制论的相关概念
2.1稳定性理论
2.1.1 李雅普诺夫稳定性
定义：一个平衡状态xe称为在t0是李雅普诺夫意义下稳定的，当且仅当对于每个?>0，存在一个依赖于?和t0的正数?，使得若x0?xe??，则?t?[t0,?)，有x(t)?xe?? 2.1.2 渐进稳定性
定义：在李雅普诺夫稳定的基础上，若在充分接近xe处起始的每一条运动轨迹，当t??时是收敛于xe，则称此平衡状态在t0是渐近稳定的。 2.1.3 BIBO稳定性
定义：输入—输出稳定，即对任意一个有界输入信号u(t)?M??,(t?0)，系统的输出响应有界。BIBO稳定是零状态响应。
2.2 能控性与能观性
2.2.1 能控性
能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控制下，状态矢量x(t)的转移情况，而与输出y(t)无关，所以只需从系统的状态方程研究出发即可。 线性连续定常系统的能控性定义：
??Ax?Bu x如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间[t0,tf]内，是系统的某一初始状态x(t0)，转移到指定的任一终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统式能控的。
2.2.2能观性
能观性所表示的是输出y(t)反映状态矢量x(t)的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即
??Ax,x(t0)?x0xy?Cx
如果对于任意给定的输入u，在有限的观测时间tf?t0，使得根据[t0,tf]期间的输出y(t)能唯一的确定系统在初始时刻的状态x(t0)，则称状态x(t0)是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，或简称是能观的。
从定义可知，能观性表示的是y(t)反映状态矢量x(t)的能力。
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