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1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 20XX年苏州市中考第29题 例2 20XX年黄冈市中考第25题
例3 20XX年上海市闸北区中考模拟第25题 例4 20XX年上海市杨浦区中考模拟第24题 例5 20XX年义乌市中考第24题
例6 20XX年上海市宝山区中考模拟第24题 例7 20XX年临沂市中考第26题
例8 20XX年上海市闸北区中考模拟第25题
1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 20XX年苏州市中考第29题
121bx?(b?1)x?（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交444于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
如图1，已知抛物线y?
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．
思路点拨
1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．
2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．
3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．
满分解答
b)． 4（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC． 因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP．
1b15所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝??x??b?x?bx＝2b．
2428161616解得x?．所以点P的坐标为(,)．
555（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0,
图2 图3
121b1x?(b?1)x??(x?1)(x?b)，得A(1, 0)，OA＝1． 4444①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA． BAQA当，即QA2?BA?OA时，△BQA∽△QOA． ?QAOA（3）由y?b所以()2?b?1．解得b?8?43．所以符合题意的点Q为(1,2?3)．
4②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。 因此△OCQ∽△QOA． BAQA当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°． ?QAOA所以C、Q、B三点共线．因此
BOQA，即b?QA．解得QA?4．此时Q(1,4)． ?bCOOA14
图4 图5
考点伸展
第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．
这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．
如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？
如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．
例2 20XX年黄冈市中考模拟第25题
如图1，已知抛物线的方程C1：y??1(x?2)(x?m) (m＞0)与x轴交于点B、C，与my轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；