2.3 等差数列的前n项和
第1课时数列的前n项和与等差数列的前n项和
A级 基础巩固
一、选择题
1．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是( ) A．12 B．24 C．36 D．48
10（a1＋a10）S10120
解析：由S10＝，得a1＋a10＝＝＝24.
255答案：B
2．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A．765 B．665 C．763 D．663
解析：因为a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，
1
所以n<15，所以n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
2答案：B
3．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9 B．10 C．19 D．29
解析：钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
所以钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝
n（n＋1）
2
.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200. 所以n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根． 答案：B
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( ) A．12 B．14 C．16 D．18
解析：因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝
答案：B
n（a1＋an）
2
＝210，得n＝14.
a55S9
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
a39S5
1
A．1 B．－1 C．2 D. 2
9
（a1＋a9）S929×2a59a595解析：＝＝＝＝×＝1.
S555×2a35a359
（a1＋a5）2答案：A 二、填空题
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________． 解析：设等差数列首项为a1，公差为d，
a1＋5d＝12，????a1＋5d＝12，则?即? 3×2
?a3ad＝12，1＋d＝4，1＋??2?
??a1＝2，
所以?所以an＝a1＋(n－1)d＝2n.
?d＝2，?
答案：2n
7．一个等差数列前12项的和为354，其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32∶27，则公差d＝________．
解析：S12＝354，
27所以S奇＝354×＝162，
32＋27
S偶＝354×
32
＝192， 32＋27
所以S偶－S奇＝30＝6d， 所以d＝5. 答案：5
8．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－30，Sn是{|an|}的前n项和，则S10＝________． 解析：an＝2n－30，令an＜0，得n＜15，即在数列{an}中，前14项均为负数， 所以S10＝－(a1＋a2＋a3＋…＋a10)＝ 10
－(a1＋a10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190. 2答案：190 三、解答题
9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. (1)求数列的通项公式； (2)若Sn＝242，求n.
解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
???a10＝a1＋9d＝30，?a1＝12，则?解得? ?a20＝a1＋19d＝50，?d＝2.??
所以an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n. (2)由Sn＝na1＋
n（n－1）
2
d以及a1＝12，
d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋
2
n（n－1）
2
·2，
即n＋11n－242＝0，
解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9. (1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式． (2)设数列{bn}的通项公式为bn＝
anan＋t，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，
m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a5＋a13＝34，S3＝9.
??a1＋4d＋a1＋12d＝34，所以?
?a1＋a1＋d＋a1＋2d＝9，????a1＋8d＝17，?a1＝1，整理得?解得?
?a1＋d＝3，?d＝2.??
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
n（n－1）2
Sn＝n×1＋×2＝n.
2
(2)由(1)知bn＝
2n－1
，
2n－1＋t13
所以b1＝，b2＝，
1＋t3＋tbm＝
2m－1
，
2m－1＋t若b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列， 则2b2＝b1＋bm，
612m－1所以＝＋，
3＋t1＋t2m－1＋t即6(1＋t)(2m－1＋t)＝(3＋t)(2m－1＋t)＋(2m－1)·(1＋t)(3＋t)，整理得(m－3)t－(m＋1)t＝0，
因为t是正整数，
2