//
∴AC= x= （m）．
m，小玲在山坡上走过的距离AC为
m
答：高楼OB的高度为200
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△ABO中，用∠BAO的正切即可求解；
（2）要求得小红在山坡上走过的距离AC，首先将AC放在直角三角形中，再根据已知条件解直角三角形即可求解。
22.设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形．以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD．
求证：
（1）AD是⊙B的切线； （2）AD=AQ； （3）BC2=CF?EG． 【答案】（1）证明：连接BD，
∵四边形BCDE是正方形，
∴∠DBA=45°，∠DCB=90°，即DC⊥AB， ∵C为AB的中点，
∴CD是线段AB的垂直平分线， ∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA=45°， ∴∠ADB=90°， 即BD⊥AD， ∵BD为半径， ∴AD是⊙B的切线 （2）证明：∵BD=BG， ∴∠BDG=∠G， ∵CD∥BE， ∴∠CDG=∠G，
//
//
∴∠G=∠CDG=∠BDG= ∴∠ADQ=∠AQD， ∴AD=AQ
（3）证明：连接DF， 在△BDF中，BD=BF， ∴∠BFD=∠BDF， 又∵∠DBF=45°， ∴∠BFD=∠BDF=67.5°， ∵∠GDB=22.5°，
∠BCD=22.5°，
∴∠ADQ=90°﹣∠BDG=67.5°，∠AQB=∠BQG=90°﹣∠G=67.5°，
在Rt△DEF与Rt△GCD中，
∵∠GDE=∠GDB+∠BDE=67.5°=∠DFE，∠DCF=∠E=90°， ∴Rt△DCF∽Rt△GED， ∴
,
又∵CD=DE=BC， ∴BC2=CF?EG．
【考点】正方形的性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接BD，要证AD是圆B的切线，根据切线的判定可知，只须证明∠ADB=由正方形的性质易得BC=CD，∠DCB=∠DCA=所以可得∠ADC=
，则∠∠ADB=
，∠DBC=∠CDB=
，问题得证；
-∠G，∠ADQ=
-∠BDG，根据等边对等角
即可。
，根据点C为AB的中点可得BC=CD=AC，
（2）要证AQ=AD，需证∠AQD=∠ADQ。由题意易得∠AQD=
可得∠G=∠BDG，由等角的余角相等可得∠AQD=∠ADQ，所以AQ=AD；
（3）要证乘积式成立，需证这些线段所在的两个三角形相似，而由正方形的性质可得CD=DE=BC，所以可知BC、CF、EG分别在三角形DCF和三角形GED中，连接DF，用有两对角对应相等的两个三角形相似即可得证。
23.某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元． （1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？
（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ （3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）解：50+x-40=x+10（元） （2）解：设每个定价增加x元,
列出方程为:（x+10）（400-10x）=6000,解得:x1=10,x2=20,要使进货量较少,则每个定价为70元,应进货200个 （3）解：设每个定价增加x元,获得利润为y元,
y=（x+10）（400-10x）=-10x2+300x+4000=-10（x-15）2+6250,当x=15时,y有最大值为6250,所以每个定价为65元时得最大利润,可获得的最大利润是6250元.
【考点】根据实际问题列一次函数表达式，一元二次方程的实际应用-销售问题，二次函数y=ax^2+bx+c的性质，二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用利润=售价-进价，从而求出利润为(x+10)元。（2）总利润=单个利润×总销量，利用次等量列出元二次方程即可求得。（3）设总利润为y元,利用（2）可得y=（x+10）（400-10x），运用配方法化成顶点式，利用二次函数性质即可解决问题。
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//
24.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA= PC满足的等量关系．
，连接PB，试探究PA、PB、
（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为________度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为________；
（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明； （3）PA、PB、PC满足的等量关系为________． 【答案】（1）150；PA2+PC2=PB2 （2）证明：如图2，
作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′， 作AD⊥PP′于D，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=120°，P′C=PB， ∴∠APP′=30°， ∵∵∠PAC+∠PCA= ∴∠APC=120°， ∴∠P′PC=90°， ∴PP′2+PC2=P′C2 ， ∵∠APP′=30°， ∴PD= ∴PP′=
PA， PA，
+PC2=PB2
=60°，
∴3PA2+PC2=PB2 （3）4PA2sin2
【考点】解直角三角形，旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵△ABP≌△ACP′， ∴AP=AP′，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=60°，P′C=PB， ∴△PAP′为等边三角形， ∴∠APP′=60°， ∵∠PAC+∠PCA= ∴∠APC=150°， ∴∠P′PC=90°，
//
=30°，
//
∴PP′2+PC2=P′C2 ， ∴PA2+PC2=PB2 ，
故答案为：150，PA2+PC2=PB2； （ 3 ）如图2，与（2）的方法类似，
作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′，连接PP′， 作AD⊥PP′于D，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=α，P′C=PB， ∴∠APP′=90°﹣ ∵∠PAC+∠PCA= ∴∠APC=180°﹣
， ， ，
）﹣（90°﹣
）=90°，
∴∠P′PC=（180°﹣ ∵∠APP′=90°﹣
，
∴PP′2+PC2=P′C2 ，
∴PD=PA?cos（90°﹣ ∴PP′=2PA?sin ∴4PA2sin2
，
）=PA?sin ，
+PC2=PB2 ，
+PC2=PB2 ．
，所以∠PAC+∠PCA=
，根据三角形内角和定理可得∠
故答案为：4PA2sin2 【分析】（1）因为α=
APC=;
由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，且PB=P′C，所以AP=PP′，∠APP′=60°，而∠APC=
，所以可得∠P′PC=
，由勾股定理可得：
;
，所以∠APP′=(，PD=PAcos
)
=
，易得∠
（2）用（1）中的方法，将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，由△ABP≌△ACP′可得AP=AP′，∠BAP=∠CAP′，所以∠PAP′=∠BAC=APC=
，所以∠P′PC=
中，做底边上的高，然后解直角三角形易得足的等量关系；
（3）同（2）的方法类似，用旋转的性质，解直角三角形即可求解。
，由勾股定理可得
，在等腰三角形APP′，代入即可得PA、PB、PC满
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