2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算
学习目标：1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系．(易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． (2)平面向量的坐标表示：
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，
y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．显然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0
＝(0,0)．
2．平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有：
加法 减法 数乘 重要 结论 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) a－b＝(x1－x2，y1－y2) λa＝(λx1，λy1) 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)， →则AB＝(x2－x1，y2－y1) [基础自测] 1．思考辨析
→
(1)若OA＝(2，－1)，则点A的坐标为(2，－1)．( )
(2)若点A的坐标为(2，－1)，则以A为终点的向量的坐标为(2，－1)．( ) (3)平面内的一个向量a，其坐标是唯一的．( )
[解析] (1)正确．对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表示相同． (2)错误．以A为终点的向量有无数个，它们不一定全相等． (3)正确．由平面向量坐标的概念可知． [答案] (1)√ (2)× (3)√
→→1→
2．已知向量OA＝(3，－2)，OB＝(－5，－1)，则向量AB的坐标是( )
2
1
1??A．?－4，? 2??C．(－8,1) →→→
A [AB＝OB－OA ＝(－5，－1)－(3，－2) ＝(－8,1)， 1?1→?
AB＝?－4，?.]
2?2?
1??B．?4，－?
2??D．(8,1)
3．如图2-3-14，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量
i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________．
图2-3-14
(2，2) [由题意知
a＝(2cos 45°i,2sin 45°j)
＝(2i，2j) ＝(2，2)．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
平面向量的坐标表示 如图2-3-15，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB→→
＝105°，OA＝a，AB＝b.四边形OABC为平行四边形．
图2-3-15
(1)求向量a，b的坐标； →
(2)求向量BA的坐标；
(3)求点B的坐标. 【导学号：84352220】 [解] (1)作AM⊥x轴于点M，
2
则OM＝OA·cos 45°＝4×
2
＝22， 2
AM＝OA·sin 45°＝4×
2
＝22， 2
∴A(22，22)，故a＝(22，22)． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， ∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，
?333?∴C?－，?， ?22?
→→?333?∴AB＝OC＝?－，?，
?22?
?333?即b＝?－，?.
?22?
→→?333?(2)BA＝－AB＝?，－?.
2??2→→→
(3)OB＝OA＋AB
?333?
＝(22，22)＋?－，?
?22?
333??
＝?22－，22＋?.
22??
[规律方法] 求点、向量坐标的常用方法： 1
求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐
标，该坐标就等于相应点的坐标.
2
求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去
始点坐标即得该向量的坐标.
[跟踪训练]
→
1．已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝43，∠xOA＝60°， →
(1)求向量OA的坐标；
→
(2)若B(3，－1)，求BA的坐标．
[解] (1)设点A(x，y)，则x＝43cos 60°＝23，
y＝43sin 60°＝6，即A(23，6)，OA＝(23，6)．
→
(2)BA＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).
→
平面向量的坐标运算 3