计算方法课程中学习数值积分内容的心得和体会
计算方法又称“数值分析”。是为各种数学问题的数值解答研究提供最有效的算法。主要内容为函数逼近论，数值微分，数值积分，误差分析等。常用方法有迭代法、差分法、插值法、有限元素法等。现代的计算方法还要求适应电子计算机的特点。数值分析即“计算方法”.下面来谈谈学习了计算方法中学习数值积分内容的心得与体会。
首先了解一下数值积分的内容：
（1）针对定积分I??f?x??bax655f?x?dx，若f?x??x,a=0,b=1，即有I??xdx?061101?，但当6sinx，f?x??sinx2，……，时，很难找到其原函数。 x（2）被积函数并没有具体的解析形式，即f?x?仅为一数表。
定积分I??f?x?dx的几何意义为，在平面坐标系中I的值即为四条曲线所围图形的面
ab积，这四条曲线分别是y?f?x?，y=0，x=a，x=b。
yy=f(x)ab?a?b?I??f?x?dx??b?a?f??； a2??bx
yy=f(x)a其几何意义为用以下矩形面积替代曲边梯形面积
bb?af?a??f?b???以及梯形公式 I??f?x?dx? ??a2a+b2bx
梯形公式的几何意义是，用以下梯形面积替代曲边梯形的面积：
yy=f(x)a再来是辛普森公式 I??f?x?dx?abbx
b?a???a?b?fa?4f?fb??????? 6?2????辛普生公式的几何意义为，阴影部分的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由
?a?ba,f(a),,????2?a?b??f???,?b,f(b)?三点构成。 ?2??yy=f(x)ana+b2bx
从而到处其一般公式为?f?x?dx??Akf?xk?，其中称为节点，称为求积系数，或权。
ak?0b衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的多项式函数是一个理想的标准。若某积分公式对于xk?k?0,1,但对于xm?1,m?均能准确成立，
不能准确成立。则称该公式具有m次代数精度。代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。
b?a?b?***研究中矩形公式?f?x?dx??b?a?f??的代数精度及几何意义。 a?2?【解】当f?x??x0?1时，公式左边??f?x?dx??1dx?b?a，公式右边?b?a，左=
aabb右；
当f?x??x时，公式左边??f?x?dx??1abbax2xdx?2bab2?a2?，
222?a?b?b?a公式右边??b?a??，左=右； ??2?2?当f?x??x时，公式左边??f?x?dx??2abbax32xdx?3bab3?a3?，
3?a?b?公式右边??b?a???，左右；
?2?故中矩形公式具有1次代数精度。
从定积分的几何意义可以看出，当被积函数为一条直线时，中矩形公式是严格成立的，中矩形面积与梯形面积相等，如下图所示。
2yy=a+bxa其次是研究几种计算方法： 首先是待定系数法。
a+b2bx
例1.构造一个至少具有一次代数精度的积分公式。
分析：构造一次代数精度的公式，即当f?x??1及f?x??x时，公式严格成立，故有2个约束条件，于是可以确定具有2个参数的积分公式。
解：设积分公式为：?f?x?dx?A0f?a??A1f?b?。
ab针对f?x??1及f?x??x，代入积分公式的左边和右边，有：
b?a?A0?A1?11?A?b?aA?，解得，???b?a? ?1201222?b?a??A0a?Ab1??2于是有积分公式：?f?x?dx?abb?ab?af?a??f?b?。 22该公式即为梯形求积公式。
例2.构造一个至少具有2次代数精度的求积公式。
?a?b?解：设积分公式为?f?x?dx?A0f?a??A1f???A2f?b?。 a2??b针对f?x??1，f?x??x及f?x??x2，代入积分公式的左边和右边，有：
??b?a?A0?A1?A2??12a?b121b?a2??A0a?A1?A2b，解得：A0??b?a?，A1??b?a?，A2??b?a? ??6362?22?13a?b??322??b?a??A0a?A1???A2b?2??3积分公式为：I??f?x?dx?abb?a???a?b?fa?4f?fb??????? 6?2????该公式即为辛普生公式，需要注意的是，该公式的代数精度并不是2次，而是3次的。 方法二，插值法（插值型求积公式），即过函数f(x)的n+1节点x0，x1，……，xn，作n次多项式函数Pn?x???lk?x?f?xk?，则有 n?x?，根据拉格朗日公式：Pk?0nn?f?x?dx??abbabbPn?x?dx????lk?x?dx?f?xk???Akf?xk?，其中，Ak??lk?x?dx
?a?a?k?0?k?0n代数精度的分析：若被积函数f?x?是次数小于n的多项式函数，那么由其曲线上的n+1节点构成的n次多项式函数Pn?x?即是被积函数f?x?本身。则：插值型积分公式具有至少n次代数精度。
2若f?x?是一条直线，那么过其曲线上3个点构造的抛物线P其中必2?x??a0?a1x?a2x，
有a2?0，即P2?x??f?x?；
同理，若f?x?是一条抛物线，那么过其曲线上4个点构造的3次多项式函数
23P3?x??a0?a1x?a2x?a3x，其中必有a3?0，即P3?x??f?x?。
再来是牛顿-柯特斯公式：
?a?b?I??f?x?dx??b?a?f??； a2??b几何意义为，用以下矩形面积替代曲边梯形面积。