《新编基础物理学》学习指导 第3章 刚体力学基础
我们在解动力学问题过程中，通常是首先考虑能否用功能原理（或机械能守恒定律）求解；因功、能都是标量，而且都是状态量，可不考虑过程中发生的复杂细节。其次，平动问题:考虑能否用动量定理或动量守恒定律求解；转动问题:考虑能否用角动量定理或角动量守恒定律求解。 因(角)动量是矢量，稍复杂一些。再考虑能否用牛顿运动定律求解。
4．根据问题涉及物理量，确定解题路径：
（1）如问题涉及到加速度，应首选动力学方法。应用牛顿定律、转动定律以及运动学规律，可求得几乎所有的基本力学量。
（2）如问题不涉及加速度，但涉及时间，应选择（角）动量方法：考虑用动量定理和角动量定理处理问题。
（3）如问题不涉及加速度，又不涉及时间，应选择能量方法：考虑用动能定理或功能原理、机械能守恒定律处理问题。
（4）如问题不涉及加速度，又不涉及时间，且是碰撞等作用：应选择（角）动量守恒方法： 对平动问题：可首选考虑用动量守恒定律；对有转动问题：可首选考虑用角动量守恒定律处理问题。
注：1.动量守恒定律适用于平动问题；角动量守恒定律适用于转动问题。 2.分析问题要紧紧抓住运动过程和运动状态。
四、解题指导
刚体转动惯量的计算(平行轴定理应用)
1.如图所示，求大圆盘的实心部分对O轴（垂直于盘面）的转动惯量。 （已知 R?2r ，大盘质量为M，小盘质量为m）
[分析] 由于转动惯量有可加性，所以先分别求出大盘和小盘对O轴的转动惯量，再把小盘的除去即得大盘实心部分对O轴的转动惯量。
R 0 M r m
= 解：大盘对O轴的转动惯量：J1?1MR2； 2 36
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小盘对O轴的转动惯量：J2?32mr。 2所以实心部分对O轴的转动惯量为：
J?J1?J2?1313MR2?mr2?M(2r)2?mr22222?11(4M?3m)r2?(4M?3m)R228
角动量守恒定律的应用
2.匀质细棒，可绕其一端的水平光滑固定轴O转动，原来静止悬挂在竖直位置，今有一质
量为m的小球以水平速度v与其相碰撞，如图所示，则在碰撞过程中，小球和棒组成的系统对O点的???????守恒。 O
解：（提示：小球和棒组成的系统在碰撞过程中，因为棒除受到球和棒相互作用的内力外，还受到棒由于碰撞致使轴对其的冲击力，这个力是系统的外力，与内力相比较不能忽略，作用系统的合外力不为零，所以系统的动量不守恒；在碰撞过程中，小球的重力、棒的重力对轴O的力矩为零，轴对棒的支持力和冲击力对轴的力矩也为零，所以作用于系统的外力对轴O的力矩为零，故系统的角动量守恒。）
刚体定轴转动定律的应用
3.图示系统，弹簧劲度系数k，质量m1的物体置于光滑水平面上，定滑轮半径为r，转动惯量为J，开始时系统静止，弹簧无伸长，求物体m2由静止下降距离h时的速度大小。
解：（提示：可用牛顿定律和刚体转动定律求解或用机械能守恒定律求解）
k F? F m1 r F?T2
P1 FT1 F?T1 m
v FN 解：方法一 用牛顿定律和刚体转动定律求解。
首先将三个物体示力图画出，其中:
P m2 FT2
?,FT2?FT2?FT1?FT1
P2
m2下降的距离y即代表弹簧伸长量。
由牛顿定律得m1和m2的运动方程：
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FT1?ky?m1a
m2g?FT2?m2a由刚体转动定律得：
FT2r?FT1r?J? 及a?r?
a?联立以上各式求得加速度：
m2g?kym1?m2?J/r2 v
又因为：
dvdvdydva????vdtdtdydy 所以：
? 0vdv?? h 0m2g?kydy2m1?m2?J/r
v?积分得：
2m2gh?kh2m1?m2?J/r2
方法二 用机械能守恒定律求解
取m1,m2、弹簧、滑轮、绳子和地球为系统，对于这一系统，只有保守内力（重力、弹簧力）做功，其它外力不做功，非保守内力做功之和为零，因此系统的机械能守恒。取弹簧原长处为弹性势能的零点，m2下降h时，物体m1,m2的速度为v，滑轮的转动角速度为
?，则：
o??m2gh?1111m1v2?m2v2?J?2?ky22222
v?得：
2m2gh?kh2m1?m2?J/r2
4．唱机的转盘绕通过圆盘中心的固定竖直轴转动，唱片放上后，将受到转盘的摩擦力作用而随着转盘转动。设唱片可以视为质量为m，半径为R的圆盘，唱片与转盘之间的摩擦因数为?，如图所示求唱片刚放上去时受到的摩擦力矩和唱片从刚放上去到具有角速度?时所需的时间。
解：（提示：先用微积分法求出唱片所受的摩擦力矩，再由刚体定轴转动定律求解） 唱片之所以转动是因为受到转盘施加的力矩即摩擦力矩的作用，它是唱片转动的动力矩。为计算唱片所受的摩擦力矩，在唱片上选取一半径为r，宽度为dr的圆环，其质量为：
dm???2?r?dr（
??m?R2）
r O dr 38
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则圆环所受到的摩擦力矩为：
dMf??dmgr???2?rdrgr
整个唱片所受到的摩擦力矩为：
Mf??dMf???g2??再由刚体定轴转动定律：
R 0rdr???g2?2132R??mgR33
?J td?d?? dtMf?J??J?? 0M 0dt f
1mR2?J?3R?t??2?2Mf?mgR4?g3
角动量守恒定律的应用
5．图示一质量为m，长为l的均匀细棒，可以在水平面内绕通过其中心的竖直轴O转动，
开始时棒静止，今有一质量为m?的小球，以水平速度u与棒的一端垂直相碰，设碰撞是完全弹性碰撞。求碰撞后小球弹回的速率和棒的角速度。
解：（提示：从角动量守恒定律和机械能守恒定律着手分析）
对由球和棒所组成的系统，在小球与棒碰撞的过程中，对轴O的角动量守恒。设碰撞后小球以速率v弹回，棒以角速度?转动，由系统碰撞前后的角动量守恒：
m?ull?J??m?v22
又因为系统作完全弹性碰撞，机械能守恒，则：
111m?u2?J?2?m?v2222
1J?ml212
联立得：
o u m?
??12m?uu(m?3m?)v?(m?3m?)l， m?3m?
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五、能力训练
1．均匀细棒可以绕通过一端O且与棒垂直的水平光滑轴转动，今使棒从水平位置由静止开始下落，下落位置摆动到竖直位置的过程中，则（ ）。 （A）角速度从小到大，角加速度从大到小 （B）角速度从小到大，角加速度从小到大 （C）角速度从大到小，角加速度从大到小 （D）角速度从大到小，角加速度从小到大。
2．如图所示一匀质细杆质量为m、长为l，绕通过杆一端并与杆成?角的轴的转动惯量为（ ）。 121mlml2（A）3 （B）12 1212mlsin2?mlcos2?（C）3 （D）2
3．一个绕固定水平轴O作匀速转动的转盘，如图所示，在同一水平直线上，从相反方向射入两颗质量相同、速率相同的子弹。 且子弹留在圆盘中，则子弹入射后，转盘的角速度为（ ）。 （A）增大 （B）减小 （C）不变 （D）不能确定。
4．一轻质细绳绕在具有水平转轴的定滑轮上，绳下端挂一质量为?m的物体，此时滑轮的角加速度为?。若将物体取下，改用大小等于mg、方向竖直向下的力拉绳子，则滑轮的角加速度将----------------------------------------------（ ）。
（A）变大 （B）不变 （C）变小 （D）不确定
5．如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量为m和2m的小球，杆可绕水平光滑O轴转动，O距两端距离各为
2m
l3O 2ll和。初始静止33在竖直状态，另有一质量为m的小球以水平初速度v0与杆端的小球m做对心碰撞，碰后以（ ）。
v0m
m 2l 3v0的速度返回，则杆所获得的角速度为2 40