解三角形及应用举例
一、教学目标：1．理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式；
2．能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式A?B?C??，解决三角形中的
计算和证明问题．
二、教学重点：掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形
中的三角函数问题．
三、教学过程：
（一）主要知识： 掌握三角形有关的定理：
abcb2?c2?a2???2R 正余弦定理：a=b+c-2bccosθ, cos??；
sinAsinBsinC2bc2
2
2
内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,
CA?BCA?B=sin, sin=cos
2222111面积公式：S=absinC=bcsinA=casinB
222a?b?cS= pr =p(p?a)(p?b)(p?c) (其中p=, r为内切圆半径)
2cos
射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA （二）例题分析：
例1．在ΔABC中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C及边c．
asinB3?sin45?3解：由正弦定理得：sinA=,因为B=45°<90°且b bsinC(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=?sinBbsinC(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=?sinB2?sin75?6?2, ?2sin45?2?sin15?6?2 ??2sin45思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论． tanAa2?2，判断△ABC的形状。 例2． △ABC中，若 tanBbsinAcosBsin2AcosBsinA解一：由正弦定理：? 即：??sin2A?sin2B sinBcosAsin2AcosAsinB∴2A = 2B 或 2A = 180? ? 2B 即：A= B 或 A + B = 90?∴△ABC为等腰或直角三角形 aa2?c2?b2?sinAcosBa2a22R2ac?2?2?2 解二： 由题设：22cosAsinBbb?c?abb?2bc2R化简：b2(a2 + c2 ? b2) = a2(b2 + c2 ? a2) ∴(a2 ?b2)(a2 + b2 ? c2)=0 ∴a = b或 a2 + b2 = c2 ∴△ABC为等腰或直角三角形． 思维点拨：判断三角形的形状从角或边入手． 例3．在ΔABC中，已知Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，b=1, 求证：1 abcb2323??,得a+c=(sinA+sinC)= (sinA+sinC)= sinAsinBsinCsinB23[sinA+sin(120°－A)]=2sin(A+30°)，因为0° 法二．∵B=60°,b=1，∴a+c-b=2accos60°, ∴a+c-1=ac, ∴a+c-ac=1, ∴(a+c)+3(a-c)=4, ∴(a+c)=4-3(a-c). ∵0≤a-c<1 ∴0≤3(a-c)<3, ∴4-3(a-c)≤4, 即(a+c)≤4, a+c≤2a+c>1, 1 例４．已知⊙O的半径为R，，在它的内接三角形ABC中，有 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2Rsin2A?sin2C?解：由已知条件得 ???2a?bsinB成立，求△ABC面积S的最大值． ??2R?2?sin2A?sin2B?2RsinB??2a?b．即有 a2?c2?2ab?b2， ?a2?b2?c22??又 cosC? ∴ c? ． 2ab24122ab??4R2sinAsinB ∴ S?absinC?244??22R?cos?A?B??cos?A?B2???22?2R??cos?A?B2??2?? ． ???所以当A = B时，Smax?2?12R． 2思维点拨：：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质． 例5：在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台 风中心位于城市O(如图)的东偏南?(??arccos210)方向 300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北45?的 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ， 并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到 台风的侵袭。 解(一) 如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向. 在时刻：t（h）台风中心P(x,y)的坐标为 ???x?300?22?10?20?2t, ???y??300?7210?20?22t. 此时台风侵袭的区域是(x?x)2?(y?y)2?[r(t)]2， 其中r(t)?10t+60， 若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有 (0?x)2?(0?y)2?(10t?60)2, 即(300?2?20?2t)2?(?300?72?20?2t)2?(10t?60)2102102,即t2?36t?288?0， 解得12?t?24. 答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭 解(二)设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) 若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则OQ?10t?60 由余弦定理知OQ2?PQ2?PO2?2PQ?POcos?OPQ 由于PO=300,PQ=20t cos?OPQ?cos???45???45