高等数学下册复习提纲
第八章 多元函数微分学
本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列):
复合函数求导（☆☆☆☆☆）
条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆）
曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆）
一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆）
1. 多元复合函数高阶导数
例 设z?f(sinx,cosy,ex?y?z?2z),其中f具有二阶连续偏导数，求及.
?x?y?x解
?z?f1??cosx?f3??ex?y ， ?x?2z?2z???(?siny)?f13???ex?y]cosx?ex?yf3??[f32???(?siny)?f33???ex?y]ex?y??[f12?y?x?x?y析 1）明确函数的结构(树形图)
zuvwx?yxyxy，那么复合之后z是关于x,y的二元函数.根据结构
这里u?sinx,v?cosy,w?e图，可以知道：对x的导数，有几条线通到“树梢”上的x，结果中就应该有几项，而每一
项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”.
2）f1?,f3?是f1?(sinx,cosy,e相同，仍然是sinx,cosy,ex?yx?y),f3?(sinx,cosy,ex?y)的简写形式，它们与z的结构
的函数.所以f1?对y求导数为
1
?f1????(?siny)?f13???ex?y. ?f12?y所以求导过程中要始终理清函数结构，确保运算不重、不漏.
?2z?2z?2z?2z?3）f具有二阶连续偏导数，从而连续，所以. ,?y?x?x?y?y?x?x?yy2?2z),其中f具有二阶连续偏导数，求2. 练 1. 设z?xf(2x,x?x22. 设z?f(2x?y)?g(esiny,x?y)其中f二阶可导，g具有二阶连续偏导数，
x22?2z求. ?x?y2. 多元函数极值
例1. 求函数f(x,y)?e解 （1）求驻点.由
x?y22x?y??fx(x,y)?e(x?2y)?2xe?0, ?x?y22x?yf(x,y)??e(x?2y)?4ye?0??yx?y(x2?2y2)的极值.
得两个驻点 (0,0)，(?4,?2)，
（2）求f(x,y)的二阶偏导数
fxx(x,y)?ex?y(x2?2y2?4x?2)，fxy(x,y)?ex?y(2y2?x2?2x?4y)，
fyy(x,y)?ex?y(x2?2y2?8y?4)，
（3）讨论驻点是否为极值点
在(0,0)处，有A?2，B?0，C??4，AC?B??8?0，由极值的充分条件知
2(0,0)不是极值点，f(0,0)?0不是函数的极值；
在(?4,?2)处，有A??6e，B?8e?2?2，C??12e，AC?B?8e?22?4?0，而
A?0，由极值的充分条件知 (?4,?2)为极大值点，f(?4,?2)?8e?2是函数的极大值.
析 1）这是二元函数无条件极值问题.
2）解题步骤：第一步是求出驻点---一阶偏导数为零的点；第二步求目标函数的二阶导
2
数；第三步求出驻点的判别式AC?B，判断是否为极值点以及极大极小. 2. 将正数12分成三个正数x,y,z之和 使得u?xyz为最大. 解：令F(x,y,z)?xyz??(x?y?z?12)，则
32232?Fx?3x2y2z???0,?3?Fy?2xyz???0, ?32?Fz?xy???0,??x?y?z?12.32解得唯一驻点(6,4,2)，故最大值为umax?6?4?2?6912.
析 1）题目是为了熟悉条件极值的求法---拉格朗日乘数法.这里拉格朗日函数也可写成
F(x,y,z)?3lnx?2lny?lnz??(x?y?z?12).
2）由于目标函数是乘积形式，而其和为常数，可以利用均值不等式
?xxxyy??????z??xxxyy? x3y2z?27????4???z?27?4?33322333226??????6?27?4?26?6912.
方法较为简单，但没有拉格朗日乘数具有一般性.
22223. 求函数z?x?y在圆(x?2)?(y?2)?9上的最大值与最小值.
解 先求函数在圆内部可能的极值点.令
?zx?2x?0, ?z?2y?0?y解得点(0,0)，而z(0,0)?0.
再求函数在圆周上的最值.为此做拉格朗日函数
F(x,y)?x2?y2??[(x?2)2?(y?2)2?9]，
?Fx?2x?2?(x?2)?0,??Fy?2y?2?(y?2)?0, ?22?(x?2)?(y?2)?9.解之得(525222525222,),(?,?)，而z(,)?25,z(?,?)?1. 22222222 3
比较z(0,0),z(52522222,),z(?,?)三值可知，在圆(x?2)?(y?2)?92222上函数最大值为z?25，最小值为z?0.
析 1）在闭域上求函数最值只需找出在开区域和边界上的可疑点，最后比较函数值即可.而不需要判断是否为极值点.
2）在求方程组的解时，要注意方程的对称性，必要时也可做换元处理，以简化计算. 3）本题在边界上的最值也可考虑写出圆周的参数方程，将问题转化为一元函数的最值问题.
练 1. 求f(x,y)?x?3xy?15x?12y的极值.
322. 证明函数f(x,y)?(1?e)cosx?ye有无穷多个极大值，但无极小值.
yyx2y2z23. 在椭球面2?2?2?1的第一卦限求一点，使该点的且平面与三坐标面围成的四
abc面体的体积最小.
4. 求抛物线y?x与直线x?y?2?0之间的距离.
23. 偏导数的几何应用
例1. 求曲面x?2y?3z?21平行于平面x?4y?6z?0的切平面方程. 解 令 F(x,y,z)?x?2y?3z?21， 曲面在点(x,y,z)处的法向量为
222222?n?(Fx,Fy,Fz)?(2x,4y,6z)，
已知平面的法向量为n1?(1,4,6)，而切平面与已知平面平行，所以n//n1，从而有
???2x4y6z， （1） ??146又因为点在切面上，应满足曲面方程
x2?2y2?3z2?21 （2）
(1)、（2）联立解得切点为(1,2,2)及(?1,?2,?2)，所以所求切平面方程为：
(x?1)?4(y?2)?6(z?2)?0，
或 (x?1)?4(y?2)?6(z?2)?0.
4
析 1）由于已经给出平面的法向量，关键是求出切点，直接利用平面的点法式方程即可.
2） 法向量的求法:由曲面方程F(x,y,z)?0得 n?(Fx,Fy,Fz). 如果曲面方程为
?z?f(x,y),那么F(x,y,z)?z?f(x,y),或F(x,y,z)? f(x,y)?z. 对应的法向量就
为 n?(?fx,?fy,1) 或 n?(fx,fy,?1).
3）注意不要把 n//n1写成 n?n1，它们的分量是对应成比例而不一定相等，否则将得出错误结论.
4）两个平面要独立写出，千万不要用大括号联立.还有就是万万不可把平面方程写成了直线啊.
2. 求曲线x?y?z?6，x?y?z?0在点P0(1,?2,1)处的切线及法平面方程. 解 曲线方程为
222???????x2?y2?z2?6， ??x?y?z?0取x为自变量，则y和z看作x的函数，即y?y(x),z?z(x).那么曲线的切向量
??(1,y?(x),z?(x)).
方程组两边对x求导，得
??2x?2yy??2zz??6， ???1?y?z?0解得 y??z?xx?y,z??. y?zy?z将点P0(1,?2,1)代入，得切向量为
??(1,0,?1).
所以曲线在点P0(1,?2,1)处的切线为
?x?1y?2z?1??， 10?1法平面为
(x?1)?(z?1)?0.
析 1）曲线方程为参数形式
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