离散数学作业3
姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名： 离散数学集合论部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。
要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第11周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。
一、填空题
1．设集合A?{1,2,3},B?{1,2}，则P(A)-P(B )= {{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}} ，A? B= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3.2>} ．
2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ．
3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，
R?{?x,y?x?A且y?B且x,y?A?B} 则R的有序对集合为 {<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3,3> ．
4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}， A到B的二元关系
R＝{?x,y?y?2x,x?A,y?B}
那么R－1＝ {<6,3>,<8,4>} 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={
6．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={
8．设A={1, 2}上的二元关系为R={
9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含 <1,1>,<2,2>,<3,3> 等元素．
10．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是 {<1, a >, <2, b >}或{<1, b >, <2, a >} ．
二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则 (1) R是自反的关系； (2) R是对称的关系．
（1）错误。R不具有自反的关系，因为<3,3>不属于R。 （2）错误。R不具有对称的关系，因为<2,1>不属于R。
2．如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1∪R2、R1∩R2是自反的” 是否成立？并说明理由．
解：成立．
因为R1和R2是A上的自反关系，即IA?R1，IA?R2。 由逆关系定义和IA?R1，得IA? R1-1；
由IA?R1，IA?R2，得IA? R1∪R2，IA? R1?R2。
所以，R1-1、R1∪R2、R1?R2是自反的。
3．若偏序集
a ? b ? d ? e ? ? f 图一 ? c ? g
? h
则集合A的最大元为a，最小元不存在．
解：错误．
集合A的最大元不存在，a是极大元．
4．设集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，，判断下列关系f是否构成函数f：
A?B，并说明理由．
(1) f={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}； (2)f={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}； (3) f={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．
（1）不构成函数。因为对于3属于A，在B中没有元素与之对应。 （2）不构成函数。因为对于4属于A，在B中没有元素与之对应。 （3）构成函数。因为A中任意一个元素都有A中唯一的元素相对应。
三、计算题
1．设E?{1,2,3,4,5},A?{1,4},B?{1,2,5},C?{2,4}，求：
(1) (A?B)?~C； (2) (A?B)- (B?A) (3) P(A)－P(C)； (4) A?B．
解： (1) (A∩B)∪~C={1}∪{1,3,5}={1,3,5}
(2) (A∪B)- (B∩A)={1,2,4,5}-{1}={2,4,5} (3) P(A) ={Φ,{1},{4},{1,4}} P(C)={ Φ,{2},{4},{2,4}} P(A)－
P(C)={{1},{1,4}}
(4) A⊕B= (A∪B)- (B∩A)= {2,4,5}
2．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算
（1）（A?B）； （2）（A∩B）； （3）A×B．
解：（1）A?B ={{1},{2}}
（2）A∩B ={1,2} （3）A×B={<{1},1>，<{1},2>，<{1},{1,2}>，<{2},1>，<{2},2>，
<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,2>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2,2>,
<2, {1,2}>}
3．设A={1，2，3，4，5}，R={
解：R={<1,1>,<1,2>,<1,3><2,1><2,2><3,1>}
S=空集 R*S=空集 S*R=空集
R-1={<1,1>,<2,1><3,1><1,2><2,2><1,3>}
S-1 =空集
r(S)={<1,1><2,2><3,3><4,4><5,5>}
s(R)={<1,1><1,2><1,3><2,1><2,2><3,1>}
4．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}．
(1) 写出关系R的表示式； (2 )画出关系R的哈斯图； (3) 求出集合B的最大元、最小元．
(1)R={<1,1><1,2><1,3><1,4><1,5><1,6><1,7><1,8><2,2><2,4><2,6><2,8><3,3><3,6><4,4><4,8><5,5><6,6><7,7><8,8>}
(3)集合B没有最大元，最小元是2
四、证明题