中考第二轮复习专题--线段和（差）的最值问题
一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：
（一）、已知两个定点：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： A m
B（2）点A、B在直线同侧： A
B m
A、A’ 是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧：
A m
n
B（2）一个点在内侧，一个点在外侧： A
m
B n
（3）两个点都在内侧： m
A
B
n
AP mBABP mA'A mP'PQ'Q nBA mPBQ nB'A' mAPBQ nB'1
练习题：
1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是 ． 2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是 ．
3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
第1题 第2题 第3题 第4题
4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，
BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为_______．
5．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为
AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为 ． 第5题
6．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若PA＋PB长度最小，则最小值为 ． 若PA—PB长度最大，则最大值为 ．
（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB
n周长最短，则最短周长=_____________
A A'nB ADB
mE
m B'
变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
nn
A' AA Qm mP
A\
练习题：
1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，则△PQR周长的最小值为______．
2
2．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）
设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M(m，0），N(0，n),使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m＝______，n ＝ ______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．
中考赏析：
1．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝PA＋PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝PA＋PB．
（1）求S1、S2，并比较它们的大小； （2）请你说明S2＝PA＋PB的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
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2．如图，抛物线y＝x2－x＋3和y轴的交点为A，M为OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，
55沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后
又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长．
3
（二）、一个动点，一个定点：
（一）动点在直线上运动：
点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B） 1、两点在直线两侧：
n nB
m AA
2、两点在直线同侧：
n n
B AA m mP A'（二）动点在圆上运动
点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B） 1、点与圆在直线两侧：
OB'O B P' mP m
A A
2、点与圆在直线同侧：
OO
BAA
mP mPA' m（三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧：
AACPQBmPQBm4