兰州大学运筹学——线性规划在管理中的应用 课后习题题解

第五章 线性规划在管理中的应用

5.1 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品,这样就产生了一部分剩余生产力。管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素,具体数据如下表:

机器设备类型 每周可用机器台时数 铣床 车床 磨床 每生产一件各种新产品需要的机器台时数如下表: 机器设备类型 新产品Ⅰ 新产品Ⅱ 新产品Ⅲ 铣床 车床 磨床 8 4 3 4 3 0 6 0 1 500 350 150 三种新产品的单位利润分别为0.5元、0.2元、0.25元。目标是要确定每种新产品的产量,使得公司的利润最大化。

1、判别问题的线性规划数学模型类型。

2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。 3、建立该问题的线性规划数学模型。 4、用线性规划求解模型进行求解。

5、对求得的结果进行灵敏度分析(分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析)。

6、若销售部门表示,新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少,而产品Ⅲ最少销售18件,请重新完成本题的1-5。

解:首先将上述问题编制成如下关系表格:

机器设备类型 新产品Ⅰ 新产品Ⅱ 新产品Ⅲ 每周可用机器台时数 铣床 车床 磨床 单位产品利润 8 4 3 0.5 4 3 0 0.2 6 0 1 0.25 500 350 150 1、本问题的约束条件都是机器设备,所以是资源分配型的线性规划数学模型。 2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化,

分别设 x1、 x2、 x3为 新产品Ⅰ、新产品Ⅱ、新产品Ⅲ的产量, 则总利润为:

0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 决策的限制条件:

8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件

4x1+ 3x2 ≤350 车床限制条件 3x1 + x3≤150 磨床限制条件

即总绩效测试(目标函数)为:

max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 3、本问题的线性规划数学模型

max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 S.T. 8x1+ 4x2+ 6x3≤500

4x1+ 3x2 ≤350 3x1 + x3≤150 x1≥0、x2≥0、x3≥0

4、用Excel线性规划求解模板求解

即:最优解(50,25,0),最优值:30元。 5、

可变单元格 约束 单元格 名字 终值 递减成本 目标式系数 允许的增量 允许的减量 $C$34 x1 $D$34 x2 $E$34 x3 50 25 0 0 0.5 0.2 0.25 1E+30 0.05 0.1 0.1 0 -0.083333333 0.083333333 1E+30 单元格 名字 终值 阴影价格 约束限制值 允许的增量 允许的减量 $R$11 实际值 500 $R$12 实际值 275 0.05 0 500 350 150 100 1E+30 37.5 100 75 112.5 $R$13 实际值 150 0.033333333 目标函数最优值为 : 30 变量 最优解 相差值 x1 50 0 x2 25 0 x3 0 .083 约束 松弛/剩余变量 对偶价格 1 0 .05 2 75 0 3 0 .033 目标函数系数范围 :

变量 下限 当前值 上限 x1 .4 .5 无上限 x2 .1 .2 .25

x3 无下限 .25 .333 常数项数范围 :

约束 下限 当前值 上限 1 400 500 600 2 275 350 无上限 3 37.5 150 187.5

(1) 最优生产方案:

新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。最大利润值为30元。

(2)x3 的相差值是0.083意味着,目前新产品Ⅲ不安排生产,是因为新产品Ⅲ的利润太低,若要使新产品Ⅲ值得生产,需要将当前新产品Ⅲ利润0.25元/件,提高到0.333元/件。

(3)三个约束的松弛/剩余变量0,75,0,表明铣床和磨床的可用工时已经用完,而车床的可用工时还剩余75个工时;

三个对偶价格0.05,0,0.033表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。

(4)目标函数系数范围

表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上,新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间,新产品Ⅲ的利润在0.333以下,上述的最佳方案不变。

(5)常数项范围

表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在37.5到187.5工时之间。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元,0元,0.033元不变。

6、若产品Ⅲ最少销售18件,原数学模型就要修改,即增加一个约束条件: x3≥18 因此问题的数学模型就是:

max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3

S.T. 8x1+ 4x2+ 6x3≤500

4x1+ 3x2 ≤350 3x1 + x3≤150

x3≥18

x1≥0、x2≥0、x3≥0

这是一个混合型的线性规划问题。 代入求解模板得结果如下:

即:最优解(44,10,18),最优值:28.5元。 灵敏度报告:

可变单元格

终值 44 10 18 终值

递减成本

0 0 0 阴影价格 0.05 0 0.033333333

0 -0.083333333

单元格 $C$34 $D$34 $E$34 约束 单元格

名字 x1 x2 x3 名字

目标式系数 允许的增量 允许的减量

0.5 0.2 0.25

1E+30 0.05 0.083333333

0.1 0.1 1E+30

约束限制值 允许的增量 允许的减量

500 350 150 0 18

192 1E+30 15 1E+30 12

40 144 132 0 18

$R$11 实际值 500 $R$12 实际值 206 $R$13 实际值 150 $R$30 实际值 $R$14 实际值

0 18

即:目标函数最优值为 : 28.5

变量 最优解 相差值 x1 44 0 x2 10 0 x3 18 0

约束 松弛/剩余变量 对偶价格 1 0 .05 2 144 0 3 0 .033 4 0 -.083 目标函数系数范围 :

变量 下限 当前值 上限 x1 .4 .5 无上限 x2 .1 .2 .25 x3 无下限 .25 .333 常数项数范围 :

约束 下限 当前值 上限 1 460 500 692 2 206 350 无上限 3 18 150 165 4 0 18 30

(1) 最优生产方案: 新产品Ⅰ生产44件、新产品Ⅱ生产10件、新产品Ⅲ生产18件。最大利润值为28.5元。 (2)因为最优解的三个变量都不为0,所以三个相关值都为0。

(3)四个约束的松弛/剩余变量0,144,0,0,表明铣床和磨床的可用工时已经用完,新产品Ⅲ的产量也刚好达到最低限制18件,而车床的可用工时还剩余144个工时;

四个对偶价格0.05,0,0.033,-0.083表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额,第四个对偶价格-0.083表明新产品Ⅲ的产量最低限再多规定一件,总的利润将减少0.083元。

(4)目标函数系数范围

表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上,新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间,新产品Ⅲ的利润在0.333以下,上述的最佳方案不变。

(5)常数项范围

表明铣床的可用条件在460到692工时之间、车铣床的可用条件在206工时以上、磨铣床的可用条件在18到165工时之间、新产品Ⅲ产量限制在30件以内。各自每增加一个工

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4