第五章 线性规划在管理中的应用
5.1 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表：
机器设备类型 每周可用机器台时数 铣床 车床 磨床 每生产一件各种新产品需要的机器台时数如下表： 机器设备类型 新产品Ⅰ 新产品Ⅱ 新产品Ⅲ 铣床 车床 磨床 8 4 3 4 3 0 6 0 1 500 350 150 三种新产品的单位利润分别为0.5元、0.2元、0.25元。目标是要确定每种新产品的产量，使得公司的利润最大化。
1、判别问题的线性规划数学模型类型。
2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。 3、建立该问题的线性规划数学模型。 4、用线性规划求解模型进行求解。
5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。
6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。
解：首先将上述问题编制成如下关系表格：
机器设备类型 新产品Ⅰ 新产品Ⅱ 新产品Ⅲ 每周可用机器台时数 铣床 车床 磨床 单位产品利润 8 4 3 0.5 4 3 0 0.2 6 0 1 0.25 500 350 150 1、本问题的约束条件都是机器设备，所以是资源分配型的线性规划数学模型。 2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，
分别设 x1、 x2、 x3为 新产品Ⅰ、新产品Ⅱ、新产品Ⅲ的产量， 则总利润为：
0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 决策的限制条件：
8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件
4x1+ 3x2 ≤350 车床限制条件 3x1 + x3≤150 磨床限制条件
即总绩效测试（目标函数）为：
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 3、本问题的线性规划数学模型
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500
4x1+ 3x2 ≤350 3x1 + x3≤150 x1≥0、x2≥0、x3≥0
4、用Excel线性规划求解模板求解
即：最优解（50，25，0），最优值：30元。 5、
可变单元格 约束 单元格 名字 终值 递减成本 目标式系数 允许的增量 允许的减量 $C$34 x1 $D$34 x2 $E$34 x3 50 25 0 0 0.5 0.2 0.25 1E+30 0.05 0.1 0.1 0 -0.083333333 0.083333333 1E+30 单元格 名字 终值 阴影价格 约束限制值 允许的增量 允许的减量 $R$11 实际值 500 $R$12 实际值 275 0.05 0 500 350 150 100 1E+30 37.5 100 75 112.5 $R$13 实际值 150 0.033333333 目标函数最优值为 : 30 变量 最优解 相差值 x1 50 0 x2 25 0 x3 0 .083 约束 松弛/剩余变量 对偶价格 1 0 .05 2 75 0 3 0 .033 目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限 x1 .4 .5 无上限 x2 .1 .2 .25
x3 无下限 .25 .333 常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限 1 400 500 600 2 275 350 无上限 3 37.5 150 187.5
（1） 最优生产方案：
新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。最大利润值为30元。
（2）x3 的相差值是0.083意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是因为新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润0.25元/件，提高到0.333元/件。
（3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时；
三个对偶价格0.05，0，0.033表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。
（4）目标函数系数范围
表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围
表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在37.5到187.5工时之间。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元不变。
6、若产品Ⅲ最少销售18件，原数学模型就要修改，即增加一个约束条件： x3≥18 因此问题的数学模型就是：
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500
4x1+ 3x2 ≤350 3x1 + x3≤150
x3≥18
x1≥0、x2≥0、x3≥0
这是一个混合型的线性规划问题。 代入求解模板得结果如下：
即：最优解（44，10，18），最优值：28.5元。 灵敏度报告：
可变单元格
终值 44 10 18 终值
递减成本
0 0 0 阴影价格 0.05 0 0.033333333
0 -0.083333333
单元格 $C$34 $D$34 $E$34 约束 单元格
名字 x1 x2 x3 名字
目标式系数 允许的增量 允许的减量
0.5 0.2 0.25
1E+30 0.05 0.083333333
0.1 0.1 1E+30
约束限制值 允许的增量 允许的减量
500 350 150 0 18
192 1E+30 15 1E+30 12
40 144 132 0 18
$R$11 实际值 500 $R$12 实际值 206 $R$13 实际值 150 $R$30 实际值 $R$14 实际值
0 18
即：目标函数最优值为 : 28.5
变量 最优解 相差值 x1 44 0 x2 10 0 x3 18 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格 1 0 .05 2 144 0 3 0 .033 4 0 -.083 目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限 x1 .4 .5 无上限 x2 .1 .2 .25 x3 无下限 .25 .333 常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限 1 460 500 692 2 206 350 无上限 3 18 150 165 4 0 18 30
（1） 最优生产方案： 新产品Ⅰ生产44件、新产品Ⅱ生产10件、新产品Ⅲ生产18件。最大利润值为28.5元。 （2）因为最优解的三个变量都不为0，所以三个相关值都为0。
（3）四个约束的松弛/剩余变量0，144，0，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，新产品Ⅲ的产量也刚好达到最低限制18件，而车床的可用工时还剩余144个工时；
四个对偶价格0.05，0，0.033，-0.083表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额，第四个对偶价格-0.083表明新产品Ⅲ的产量最低限再多规定一件，总的利润将减少0.083元。
（4）目标函数系数范围
表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围
表明铣床的可用条件在460到692工时之间、车铣床的可用条件在206工时以上、磨铣床的可用条件在18到165工时之间、新产品Ⅲ产量限制在30件以内。各自每增加一个工