直线与圆锥曲线的位置关系
一．知识网络结构：
??直线与圆锥曲线的位置???直线与圆锥曲线相交的??位置关系)?几何角度(主要适用于直线与圆的关系?直线与圆锥曲线位置关?代数角度（适用于所有?利用一般弦长公式（容弦长问题??利用两点间距离公式（易）繁琐）1.直线与圆锥曲线系）
2.直线与圆锥曲线的位置关系：
⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax2?bx?c?0。 ①. 若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；
当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
②.若a?0，设??b2?4ac。a.??0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。
b.??0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.??0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。
二．常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系：
例1.椭圆
x216?y24?1上的点到直线x?2y?2?0的最大距离是（ ）
A.3 B.11 C.22 D.10
x2例2.如果椭圆
36?y29?1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A.x?2y?0 B.x?2y?4?0 C.2x?3y?12?0 D.x?2y?8?0
题型二：直线与双曲线的位置关系：
例3.已知直线L:y?kx?1与双曲线C:x?y=4。
⑴若直线L与双曲线C无公共点，求k的范围；⑵若直线L与双曲线C有两个公共点，求k的范围； ⑶若直线L与双曲线C有一个公共点，求k的范围；⑷若直线L与双曲线C的右支有两个公共点，求k的范围；⑸若直线L与双曲线C的两支各有一个公共点，求k的范围。
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题型三：直线与抛物线的位置关系：
例4.在抛物线y2?2x上求一点P，使P到焦点F与P到点A(3,2)的距离之和最小。
题型四：弦长问题：
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线?斜率为k?与圆锥曲线交于点A?x1,y1?，B?x2,y2?时，则AB=1?k1k22x1?x2=1?ky1?y2=1?2?x1??y1?x2??4x1x2
2=1?1k2y2??4y1y2
2可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积的代数式，然后再进行整体带入求解。 例5.过双曲线
2
x23?y26?1的右焦点F2，倾斜角为30的直线交双曲线于A、B两点，求AB。
0
题型五：中点弦问题：求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法：
⑴.点差法：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程；
⑵.设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，用根与系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k，然后写出弦的方程；
⑶.设弦的两个端点分别为?x1,y1?,?x2,y2?，则这两点坐标分别满足曲线方程，又???x1?x22,y1?y2??为2?弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求出弦的方程。 例6.已知双曲线方程2x2?y2=2。⑴求以A?2,1?为中点的双曲线的弦所在的直线方程；
⑵过点?1,1?能否作直线L，使L与双曲线交于Q1，Q2两点，且Q1，Q2两点的中点为?1,1?？如果存在，求出直线L的方程；如果不存在，说明理由。
题型六：圆锥曲线上的点到直线的距离问题：
例7.在抛物线y?64x上求一点，使它到直线L：4x?3y?46?0的距离最短，并求这个最短距离。
2
3
练 习 题
1.（09上海）过点A(1,0)作倾斜角为
写出所涉及到的公式：
2.（09海南）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点， 若P?2,2?为AB的中点，则抛物线C的方程为 。
x2?4的直线，与抛物线y2?2x交于M、N两点，则MN= 。
3.（08宁夏海南）过椭圆
5?y24?1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标
原点，则△OAB的面积为
4.（11全国）已知直线L过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，L与C交于A，B两点，|AB|?12， P为C的准线上一点，则?ABP的面积为（ ） A．18
B．24
C． 36
D． 48
5.（09山东）设斜率为2的直线l过抛物线y2?ax(a?0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )
A.y2??4x B.y2??8x C. y2?4x D. y2?8x
xa226.（09山东）设双曲线?yb222?1的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率
为( ).A.
54 B. 5 C.
52 D.5
7.（10全国）设F1,F2分别是椭圆E：x+
2yb22=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过F1的直线L与E相交
于A、B两点，且AF2，AB，BF2成等差数列。⑴求AB⑵若直线L的斜率为1，求b的值。
28.（11江西）已知过抛物线y?2px?p?0?的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A?x1,y2?,B?x2,y2?（x1?x2）两点，且AB?9．⑴求该抛物线的方程；⑵O为坐标原点，C为抛物线上一点，若
OC?OA??OB，求?的值．
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