勾股定理（知识点）
【知识要点】 1. 勾股定理的概念：
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a＋b＝c. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
AB弦cb股a勾C2
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常用关系式
由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC 2. 勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a＋b＝c，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。 3. 勾股数：
①满足a＋b＝c的三个正整数叫做勾股数
（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。） ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： ； n2?1,2n,n2?1（n?2,n为正整数）2n?1,2n2?2n,2n2?2n?1（n为正整数） m2?n2,2mn,m2?n2（m?n,m，n为正整数）
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4.判断直角三角形：
（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 （4）如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c）；
（2）若c＝a＋b，则△ABC是以∠C为直角的三角形；
若a＋b＜c，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）； 若a＋b＞c，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边） 5.直角三角形的性质
（1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90°
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（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC = ∠C=90° （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD = D为AB的中点 6.数轴上表示无理数
第一步：分析所有表示二次根式中被开方数可以写成哪两个有理数的和
第二步：在数轴上画出其中一个有理数，以该有理数为垂足做垂线，在垂线上标出第二个有理数的长度。连接端点和原点，以原点为圆心，端点为半径画圆，于数轴交点即为所有无理数。
1AB 21AB = BD = AD 2 2 / 11
勾股定理专项练习
一、基本应用 考点1：勾股定理
1.下列是勾股数的一组是（ D ）
A.4,5,6 B.5,7,12 C.12,13,15 D.21,28,35
2.△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：1：1，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列各等式中成立的是（ ） A.a+b=c B.a=2b C.c=2a D.b=2a 3.矩形ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,则这个矩形的面积为 60 cm.
4.如图，在△ABC中，∠BAC=90o，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足为D，则△ABC斜边上的高AD= 12 ． 5.已知等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为( C ) ．．．．
A.12cm B.60cm C.120cm D.cm
1313136.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 6，8，10 ． 7.（易错题）已知直角三角形的两边x，y的长满足│x－4│+
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10y?3=0，则第三边的长为 5或√7 .
8.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.已知直角三角形两边长分别为3、4，则第三边长为 ．
10.已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10，则直角三角形的两直角边的长分别为 ． 11.如图，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式 S1+S2=S3 ．
12.（易错题）如图，已知在Rt△ABC中∠ACB=90°，AB=4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于 2π ．
13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 49 cm。
第4题 第11题 第12题 第13题
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14.在Rt△ABC，∠C=90°
（1）已知c=17，b=8, 求a。（a=15） （2）已知a∶b=1∶2，c=5, 求a。（a=√5）
（3）已知b=15，∠A=30°，求a，c。（a=5√3，c=10√3）
15.若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。（n=2）
16.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。（S=96）
考点2.勾股定理逆定理
1.以下列各组线段为边长，能构成三角形的是_________，能构成直角三角形的是_________．（填序号） ①3，4，5 ② 1，3，4 ③ 4，4，6 ④ 6，8，10 ⑤ 5，7，2 ⑥ 13，5，12 ⑦ 7，25，24 2.在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ D ） A.a=9，b=41，c=40 B.a=b=5，c=52 C.a∶b∶c=3∶4∶5 D.a=11，b=12，c=15 3.若一个三角形三边长的平方分别为：3，4，x，则此三角形是直角三角形的x的值是（ D ） A．4 B．5 C．7 D．5或7 4.下列说法不正确的是（ B ）
A.三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形B.三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形 C.三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形 D.三边长度之比为5∶12∶13的三角形是直角三角形 5.若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a＋b－c）=0，则△ABC是（ C ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 6.有下列说法：①若两直角边的平方和等于斜边的平方，则此三角形是直角三角形；②在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若a+b＞c，则△ABC是钝角三角形；③在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若b+c=a，则∠C=90；④在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C≠
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90，则a+b≠c。其中正确的是（ D ）
A.①②③ B.②③④ C.②④ D.④ 7.下列说法中正确的有（ ）
①如果∠A+∠B+∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形；②如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；③如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC是直角三角形；④如果三边长分别是n-1，2n，n+1（n＞1），则△ABC是直角三角形。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.若c?13+|a-12|+(b-5)=0,则以a、b、c为三边的三角形是 直角 三角形.
9.如果△ABC的三边a,b,c满足关系式a?2b?18 +（b-18）+c?30=0则△ABC是 三角形。 10.已知:a、b、c为△ABC的三边,且满足ac-bc=a-b,试判断△ABC的形状. 解:∵ac-bc=a-b,① ∴c(a-b)=(a+b)(a-b).② ∴c=a+b.③
∴△ABC是直角三角形.
问:(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号: ③
(2)错误的原因为 除数可能为零 ;
11.已知△ABC的三边为a、b、c，且a:b:c?1:1:2，求三角形三个内角度数的比（∠A：∠B：∠C=1:1：:√2）
212.△ABC的三边a、b、c满足|a?b?50|?a?b?32?(c?40)?0．试判断△ABC的形状．（直角三角形）
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13.已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定△ABC的形状。 （直角三角形）
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