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1 便携式倒立摆实验简介
倒立摆装置被公认为是自动控制理论中的典型试验设备，是控制理论教学和科研中不可多得的典型物理模型。本实验基于便携式直线一级倒立摆试验系统研究其稳摆控制原理。 1.1主要实验设备及仪器
便携式直线一级倒立摆实验箱 一套 控制计算机 一台 便携式直线一级倒立摆实验软件 一套 1.2便携式倒立摆系统结构及工作原理
便携式直线一级倒立摆试验系统总体结构如图1所示：
图1 便携式一级倒立摆试验系统总体结构图
主体结构包括摆杆、小车、便携支架、导轨、直流伺服电机等。主体、驱动器、电源和数据采集卡都置于实验箱内，实验箱通过一条USB数据线与上位机进行数据交换，另有一条线接220v交流电源。
便携式直线一级倒立摆的工作原理如图2所示：
图2 便携式一级倒立摆工作原理图
数据采集卡采集到旋转编码器数据和电机尾部编码器数据，旋转编码器与摆杆同轴，电机与小车通过皮带连接，所以通过计算就可以得到摆杆的角位移以及小车位移，角位移差分得角速度，位移差分可得速度，然后根据自动控制中的各种理论转化的算法计算出控制量。控制量由计算机通过USB数据线下发给伺服驱动器，由驱动器实现对电机控制，电机尾部编码器连接到驱动器形成闭环，从而可以实现摆杆直立不倒以及自摆起。
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2 便携式倒立摆控制原理方框图
便携式倒立摆是具有反馈功能的闭环系统，其控制目标是实现在静态和动态下的稳摆。当输入量为理想摆角，即 时，偏差为0，控制器不工作；当输入量不为理想摆角时，偏差存在，控制器做出决策，驱动电机，使小车摆杆系统发生相应位移，输出的摆角通过角位移传感器作用于输出量，达到减小偏差的目的。根据控制原理绘制出控制方框图如图3所示：
图3 便携式一级倒立摆控制原理方框图
3 建立小车-摆杆数学模型
便携式倒立摆系统主要由小车、摆杆等组成，它们之间自由连接。小车可以在导轨上自由移动，摆杆可以在铅垂的平面内自由地摆动。在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将便携式倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的刚体系统，在惯性坐标内应用经典力学理论建立系统的动力学方程，采用力学分析方法建立小车-摆杆的数学模型。将其置于平面坐标系后其结构图如图4所示，规定逆时针方向的转角和力矩均为正。
图4 便携式倒立摆结构图
模型参数符号如下：
小车质量； 摆杆质量； 摆杆转动惯量； 摆杆质心到转轴的距离； 摆杆长度； 外加在小车上的力； 摆杆给小车的力； 小车给摆杆的支持力； 转角； 小车位置； 小车与导轨间的摩擦系数。
3.1确定系统输入输出量及中间变量：
输入量： 加在小车上的力 输出量： 转角 中间变量： 小车位置
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3.2受力分析，列写运动方程：
小车水平方向所受合力：
..F?bx?N?Mx （1）
摆杆水平方向所受合力：
d2N?m2(x?lsin?) （2）
dt由（2）得：N?mx?ml?cos??ml?sin? （3）
...2.....2将（3）代入（1）得到系统第一个运动方程：
(M?m)x?bx?ml?cos??ml?sin??F (4)
摆杆垂直方向的合力：
...d2P?mg?m2(lcos?) （5）
dt由（5）得：P?mg??ml?sin??ml?cos? （6）
...2摆杆对质心的力矩平衡方程：
I??Plsin??Nlcos? （7）
从(3)、(6)、(7)中消去P和N，得到系统第二个运动方程：
......(I?ml)??mglsin??mlxcos? （8）
综上所述，系统的两个运动方程为（4）式和（8）式：
(M
2?m)x?bx?ml?cos??ml?sin??F
(I?ml)??mglsin??mlxcos?2..........23.3系统非线性方程的线性化：
因为倒立摆摆杆旋转角度不会太大，即 （1为弧度），可以做近似处理，即在稳定点附近线性化。系统平衡工作点 为 ，可得：
sin???,cos??1,?2?0.
倒立摆系统的线性化模型为：
(M?m)x?bx?ml??F 2 (I?ml)??mgl??mlx.........
3.4零初始条件下的拉氏变换：
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