【高考数学专题突破】《第讲三角恒等变换与解三角形学案》(解析版)

第2讲 三角恒等变换与解三角形

年份 卷别 卷Ⅰ 2018 卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 2017 考查内容及考题位置 利用正、余弦定理求边或角·T17 利用余弦定理求边长·T6 三角恒等变换·T15 倍角公式·T4 三角形的面积公式·T9 正、余弦定理、三角形的面积公式及两角和的余弦公式·T17 余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式·T17 余弦定理、三角形的面积公式·T17 正、余弦定理、两角和的正弦公式·T17 诱导公式、三角恒等变换、给值求值问2016 卷Ⅱ 题·T9 正弦定理的应用、诱导公式·T13 卷Ⅲ

三角恒等变换与求值(基础型)

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β. tan α±tan β

(3)tan(α±β)=. 1?tan αtan β 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α.

(2)cos 2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα. 2tan α

(3)tan 2α=. 2

1-tanα 三角恒等变换的“四大策略”

(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sinθ+cosθ=tan 45°等.

2

2

2

2

2

2

命题分析 1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现. 2.若无解答题,一般在选择题或填空题各有一题,主要考查三角恒等变换、解三角形,难度一般,一般出现在第4~9题或第13~15题位置上. 3.若以解答题命题形式出现,主要考查三角函数与解三角形的综合问题,一般出现在解答题第17题位置上,难度中等. 卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 正、余弦定理解三角形·T8

(2)项的分拆与角的配凑:如sinα+2cosα=(sinα+cosα)+cosα,α=(α-β)+β等.

(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化:一般是切化弦.

[考法全练]

π??π??1.已知α∈?0,?,tan α=2,则cos?α-?=________.

2?4???

22222

?π?解析:因为α∈?0,?,tan α=2, 2??

255

所以sin α=,cos α=,

55

π?ππ?所以cos?α-?=cos αcos+sin αsin 4?44?=

2?255?310

×?. +?=2?5105?

310答案:

10

11?π?则cos(α-β)=________.

2.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈?0,?,

2?33?

?π?解析:因为α∈?0,?,所以2α∈(0,π).

2??

172

因为cos α=,所以cos 2α=2cosα-1=-,

39422

所以sin 2α=1-cos2α=,

9

?π?又α,β∈?0,?,

2??

所以α+β∈(0,π),

所以sin(α+β)= 1-cos(α+β)=所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)

2

22

, 3

?7??1?42×22=23. =?-?×?-?+

327?9??3?9

23

答案: 27

3?π?3.已知sin β=?<β<π?,且sin(α+β)=cos α,则tan(α+β)=________. 5?2?

解析:因为sin β=,且<β<π,

5243

所以cos β=-,tan β=-.

54

因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos α, 1

所以tan α=-,

2

tan α+tan β

所以tan(α+β)==-2.

1-tan αtan β答案:-2

正、余弦定理在解三角形中的应用(综合型)

正弦定理及其变形

在△ABC中,===2R(R为△ABC的外接圆半径).变形:a=2Rsin A,

sin Asin Bsin Csin A=,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C等.

2R 余弦定理及其变形

在△ABC中,a=b+c-2bccos A;

2

2

2

abcab2+c2-a2

变形:b+c-a=2bccos A,cos A=. 2bc2

2

2

三角形面积公式

S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B.

[典型例题]

命题角度一 求解三角形中的角

已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcos C+bsin C=a. (1)求角B的大小;

1

(2)若BC边上的高等于a,求cos A的值.

4【解】 (1)由bcos C+bsin C=a, 得sin Bcos C+sin Bsin C=sin A. 因为A+B+C=π,

所以sin Bcos C+sin Bsin C=sin(B+C),

即sin Bcos C+sin Bsin C=sin Bcos C+cos Bsin C, 因为sin C≠0,所以sin B=cos B.

121212

因为B∈(0,π),所以B=

π. 4

1

(2)设BC边上的高为AD,则AD=a.

4

π13

因为B=,所以BD=AD=a,所以CD=a,

444所以AC=AD+DC=

2

2

102

a,AB=a. 44

AB2+AC2-BC25

由余弦定理得cos A==-.

2AB·AC5

利用正、余弦定理求三角形的角,常见形式有:

(1)已知两边及其夹角,先由余弦定理求第三边,再由正弦定理求角. (2)已知三边,直接由余弦定理求角.

(3)已知两边及其中一边的对角,先由正弦定理求另一边的对角,再由三角形内角和求第三角,注意此类问题有一解、两解或无解的情况.

命题角度二 求解三角形中的边与面积

如图所示,在△ABC中,点D为BC边上一点,且BD=1,

E为AC的中点,AE=,cos B=

(1)求AD的长; (2)求△ADE的面积.

3

2272π

,∠ADB=. 73

27

【解】 (1)在△ABD中,因为cos B=,B∈(0,π),

7所以sin B=1-cos B=

2

21?27?2

1-??=7,

?7?

21?1?27321×?-?+×=. 7214?2?7

21

7

所以sin∠BAD=sin(B+∠ADB)=

ADBDBD·sin B由正弦定理知=,得AD==

sin Bsin∠BADsin∠BAD21

14

=2.

(2)由(1)知AD=2,依题意得AC=2AE=3,在△ACD中,由余弦定理得AC=AD+DCπ2

-2AD·DCcos∠ADC,即9=4+DC-2×2×DCcos,

3

所以DC-2DC-5=0,解得DC=1+6(负值舍去),

2

222

1133+32

所以S△ACD=AD·DCsin∠ADC=×2×(1+6)×=,

222213+32

从而S△ADE=S△ACD=.

24

利用余弦定理求边,一般是已知三角形的两边及其夹角.利用正弦定理求边,必须知道两角及其中一边,如该边为其中一角的对边,要注意解的多样性与合理性.而三角形的面积主要是利用两边与其夹角的正弦值求解.

[对点训练]

1.(2018·高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,

BD=5.

(1)求cos∠ADB; (2)若DC=22,求BC.

解:(1)在△ABD中,由正弦定理得=. sin∠Asin∠ADB由题设知,

522

=,所以sin∠ADB=.

sin 45°sin∠ADB5

223

1-=. 2552. 5

BDAB由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=在△BCD中,由余弦定理得

BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC

=25+8-2×5×22×=25. 所以BC=5.

2.(2018·山西八校第一次联考)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且(a+c)=b+3ac.

(1)求角B的大小;

(2)若b=2,且sin B+sin(C-A)=2sin 2A,求△ABC的面积. 解:(1)由(a+c)=b+3ac,整理得a+c-b=ac,

2

2

2

2

2

2

2

2 5

a2+c2-b2ac1

由余弦定理得cos B===,

2ac2ac2

π

因为0

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