3．4.1 基本不等式的证明
1．(a－b)≥0?a＋b≥2ab，那么(a)＋(b)≥2ab，即＝b时，等号成立．
2.
2
2
2
2
2
a＋b2
≥ab，当且仅当aa＋b2
叫做a、b的算术平均数．
3.ab叫做a、b的几何平均数． 4．基本不等式
a＋b2
≥ab，说明两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数．
2
5．如下图，在⊙O中，AB是圆的直径，CD⊥AB于点D，由射影定理可知，CD＝AD·DB，则CD＝AD·DB叫做AD、DB的几何平均数，OC＝
AD＋DB2
叫做AD、DB的算术平均数．
由上图可知，OC≥CD，当△ABC是等腰直角三角形时，有OC＝CD. 6．不等式
a＋b2
≥ab，(a、b∈R)，在证明不等式，求函数的最大值、最小值时，有
＋
着广泛的应用，因此我们也称它为基本不等式
一、选择题
1．如果a、b为绝对值不相等的非零实数，那么＋的值是(B) A．大于2 B．小于－2或大于2 C．小于等于2 D．大于－2或小于2
解析：a、b同号时大于2，a、b异号时小于－2. 2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(B) A．a＞b＞C．a＞
abbaa＋b2
＞ab B．a＞
a＋b2
＞ab＞b
a＋b2
＞b＞ab D．a＞ab＞
a＋b2
＞b
解析：由a－
a＋ba－b2＝
2
＞0，ab－b＝b(a－b)＞0，再结合基本不等式
a＋b2
＞
ab.
3．给出下面四个推导过程： ①∵a，b∈R，∴＋≥2
＋＋
baabba·＝2； ab②∵x，y∈R，∴lg x＋lg y≥2lg x·lg y； 4
③∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2
a4
·a＝4；
a④∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－??－?＋?－??≤
yx－2xyyx??x??y????????
?－x?·?－y?＝－2. ?y??x?????
其中正确的推导为(D)
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
解析：①由于a，b∈R，∴，∈R，符合基本不等式的条件，故①推导正确； ②虽然x，y∈R，但当x∈(0，1)和y∈(0，1)时，lg x和lg y都是负数，∴②的推导过程是错误的；
③由a∈R，不符合基本不等式的条件， 4
∴＋a≥2
4
＋
＋
baab＋
aa·a＝4是错误的；
④由xy＜0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，?－?，?－?均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．
14
4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(C)
xyyxxyyx?x??y??y??x?
ab7
A. B．4 29
C. D．5 2
141?14?1141?b4a?1
解析：y＝＋＝×2?＋?＝(a＋b)(＋)＝?5＋＋?≥(5＋2
ab2?ab?2ab2?ab?25．下列结论正确的是(B)
1
A．当x＞0且x≠1时，lg x＋≥2
lg xB．当x＞0时，x＋1
b4a9×)＝. ab2
x≥2
1
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
x1
D．当0＜x≤2时，x－无最大值
x
1
解析：当0＜x＜1时，lg x＋＜0，∴A错误；
lg x当x＞0时，x＋
1≥2
xx·1
＝2，∴B正确； x15
当x≥2时，x＋的最小值为，∴C错误；
x2
1
当0＜x≤2时，x－是增函数，最大值在x＝2时取得，∴D错误．
x二、填空题
6．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则x与
a＋b2
2
的大小关系是________．
解析：因A(1＋x)＝A(1＋a)(1＋b)≤
?1＋a＋1＋b?＝A?1＋a＋b?，∴x≤a＋b. A???22?2????
答案：x≤
22
a＋b2
22
2
2
2ab?ba?7．给出下列不等式：①a＋1＞2a；②a＋4≥4a；③?＋?≥2；④2≤ab.其中恒
a＋b2?ab?成立的不等式的序号是________．
解析：当a＝1时，①不成立；当ab＜0时，④不成立． 答案：②③
1|a|
8．(2013·天津卷)设a＋b＝2，b＞0，则当a＝________时，＋取得最小值．
2|a|b1|a|a＋b|a|a?b＋|a|?≥a＋1，显然当
解析：∵a＋b＝2，∴＋＝＋＝＋??2|a|b4|a|b4|a|?4|a|b?4|a|
a＜0且b＝2|a|时，上式等号成立，将b＝－2a与a＋b＝2联立即得a＝－2.
答案：－2 三、解答题
9．已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，求证：证明：
ad＋bcbc＋ad＋≥4. bdacad＋bcbc＋ad＋ bdac＝＋＋＋
acbdbdac?ab??cd?＝?＋?＋?＋?≥2＋2＝4， ?ba??dc?