证：
（1）楼顶的线速度为
。
楼根的线速度为
。二者之差
（2）将楼所在处的地面局部视为向东以速度 平移，则落体下落时间为
而着地时偏东的距离为
以
代入上式可得
例14 地球的自转轴与它绕太阳的轨道平面的垂线间的夹角是23.5o（图5-13）。由于太阳和月亮对地球的引力产生力矩，地球的自转轴绕轨道平面的垂线旋进，旋进一周需时间约26000a。已知地球绕自转轴的转动惯量为
。求地球自旋角动量矢量变化率的大小，即
阳和月亮对地球的合力矩多大？ 解：
，并求太
太阳和月亮对地球的合力矩的大小为
16
例15 一个内壁光滑的圆环型细管，正绕竖直光滑固定轴 OO′自由转动。管是刚性的，环半径为R 。一质量为 m 的小球静止于管内最高点A处，如图5-14所示。由于微小扰动，小球向下滑动，试判决小球在管内下滑过程中，下列三种说法是否正确，并说明理由。
（a）地球、环管与小球系统的机械能不守恒。 （b）小球的动量不守恒。 （c）小球对OO′轴的角动量守恒。 辨析
（a）不正确。对小球、环管、地球系统，外力为零，外力的功当然为零，环管与小球间的正压力 N 和 N′是一对非保守内力。在小球下滑过程中，小球受管壁的压力N（与管壁垂直）始终与小球相对管壁的速度方向（与管壁相切）垂直，所以这一对内力做功之和为零，而且与参考系的选择无关。系统中只有保守内力（重力）做功，系统的机械能守恒。
（b）正确。小球在下滑过程中始终受到管壁的压力和重力，而此二力的方向不同，所以合力不为零，使得小球的动量不断变化。
（c）不正确。小球在下滑过程中受重力和管壁的压力，重力和OO′轴平行，重力的轴向力矩恒为零，但管壁对小球的压力方向不通过OO′轴，对OO′轴有力矩，所以小球对OO′的角动量在变化，角动量不守恒。例如小球在位置 A 对OO′轴的角动量为零，在 B 处小球有垂直于环半径的水平分速度，它对OO′轴的角动量不再是零，到达最低点C 时，对OO′轴的角动量又等于零。
运用刚体定轴转动定律解题
转动定律描述刚体定轴转动中的瞬时关系，常常用来求解角加速度，一般步骤为：
1) 隔离物体：即明确研究对象。
2) 具体分析：分析所选定的定轴刚体的受力情况和运动情况，画出受
力图。 3) 选定坐标：在惯性系中建立一维坐标，即在转轴上选择正方向。
17
4) 建立方程：用转动定律列出定轴刚体的运动微分方程
。
5) 要特别注意方程中的力矩、转动惯量必须对同一轴而言。还要注意
此方程是标量式，式中各量均为代数量，与所选正方向同向的力矩和角速度为正，反之为负。 6) 求解讨论：求解方程，理解和讨论结果的物理意义。
请注意常常与转动定律相联系的综合性问题：
与刚体定轴转动或质点圆周运动的运动学问题相联系。
刚体定轴转动与质点平动相联系（例如滑轮两边悬挂物体）。处理方法仍然是隔离法，对定轴刚体用转动定律列方程，对平动质点用牛顿第二定律列方程，二者之间用角量与线量的关系联系起来，求解方程组。 运用角动量定理或角动量守恒定律解题
因为对定轴转动的刚体，其总动量往往并无实际意义（例如定轴转动滑轮的总动量为零），所以只能用角动量对其整体机械运动量进行量度。在力矩持续作用一段时间的问题中，则用角动量定理取代平动问题中的动量定理。对于平动质点和定轴刚体组成的系统，既可以对于系统整体运用角动量定理，也可以分别对平动质点运用动量定理，对定轴刚体运用角动量定理，再用力矩表达式将二者联系起来。运用角动量定理或角动量守恒定律解题的一般步骤与运用动量定理或动量守恒定律求解平动问题类似，只不过用角量取代相应的线量：
1. 选系统：即确定研究对象。
2. 建坐标:选取惯性系，确定参考点或转轴。
3. 选过程：即选取一定的时间间隔，确定系统的初、末态。对于综合
性问题，可以划分为几个互相衔接的阶段处理。 4. 算力矩：画出对所选定的参考点或转轴力矩不为零的外力，无须分析
系统内力和对参考点或转轴力矩为零的外力。
5. 列方程：如果不满足角动量守恒条件，运用角动量定理列方程：
18
对固定点：
对定轴：
如果满足角动量守恒条件，运用角动量守恒定律列方程： 对固定点：
对定轴：
6. 求解并讨论：求解方程，理解和讨论结果的物理意义。 请特别注意：
请注意在某一过程中角动量守恒，不仅指该过程始、末状态的角动量相等，而且要求整个过程中任意两个瞬间系统角动量的大小、方向都不变。所以，角动量守恒条件是系统所受的合外力矩为零，而不是合外力矩的角冲量为零。 请注意方程中的力矩、角动量均应该对同一参考点或转轴而言。在对固定点的方程中要注意其矢量性，在对定轴的方程中要注意其正、负号。 请特别注意区分系统动量守恒和角动量守恒的条件。例如，区分图5.4中的两种不同的冲击摆：在图5.4（a）中，m、M系统的动量及对O的角动量均守恒。而在图5.4（b）中，轴O对系统的约束力不能忽略，但该约束力对O轴的力矩为零，所以，系统所受合外力不为零，系统总动量不守恒；系统所受对O轴的合外力矩为零，对O轴的角动量守恒。
图5.4 两种冲击摆
19
20