【答案】D
【解析】由题可知，
，令
，则，可知
不正确，由，
，即可得
，在区间
，即
内单调递增，
由
，正确，故选D.
【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知函数【答案】 【解析】因为函数函数14. 过_______. 【答案】【解析】点
关于轴的对称点为
，则直线
的方程为到直线
，即的距离，故答案为
与平面
. 所成，因
，
，则其最小正周期为
两点的光线经轴反射后所在直线与圆
，故答案为.
存在公共点，则实数的取值范围为
，
，则其最小正周期为_______.
为反射后所在直线与圆
，即
15. 如图，将正方形的二面角为
，
存在公共点，所以圆心
，解得
沿着边
，故实数的取值范围是
抬起到一定位置得到正方形内一条直线，则直线
与
，并使得平面
为正方形所成角的取值范围为_______.
【答案】
，垂足为，由在平面
内的射影为
，得，易知，而直线
与平面，则
，故与平面
，
【解析】不妨设正方形的边长为，作又所成的角为
（当为
与.
，为
的中点，且
重合时，，得
平面
，故直线与平面与
内的直线所成的最小角为
），所以直线
与
所成角的最大角为
，故答案
所成角为的所成角的取值范闱为
16. 已知菱形【答案】12 【解析】设
，则菱形面积的最大值为_______.
，则，
，设
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
，在
中，由余弦定理可知
，即，
即，
，令
时，即
时，
有最大值，故答案为.
，则，则，当
【方法点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及最值问题，属于难题.求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数最值，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.本题(2)求值域时主要应用方法①求解的.
三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知数列（1）求数列（2）求数列
的前项和的通项公式；
的前项和.
. 时，
；当
时，
时，
，当
时，
，对
不
.
【答案】(1)见解析;(2)【解析】试题分析：（1）当成立，从而可得数列
的通项公式；（2）当
，利用裂项相消法可得
试题解析：（1）当当对
时，不成立，
的通项公式为时，
，
又所以
时，
符合上式， （
）.
.
时，
；
，
，再验证时，是否成立即可.
所以数列（2）当当所以
时，
【方法点晴】本题主要考查数列的通项公式与求和，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)
；（4）
；（2）
； （3）
；此外，需注意裂项之
后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误...................... 18. 如图所示，已知三棱锥点.
中，底面
是等边三角形，且
，
分别是
的中
（1）证明：（2）若
平面，求二面角
；
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2). 【解析】试题分析：（1）连接
，因为是
的中点，由等腰三角形及等边三角形的性质可得
与
垂直，再以
，从而利用线面垂直的判定定理可得结果；（2）先根据勾股定理证明
为轴建立空间直角坐标系，平面
程组求出平面
的一个法向量为
，利用向量垂直数量积为零，列方
的余弦值.
的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式可求得二面角
，因为
，底面
等边三角形，
试题解析：(1)连接又因为是所以又因为所以
平面
的中点，
， .
， ，
的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
（2）因为由（1）可知而
，所以
以为原点，以
则由题得平面设平面所以令所以所以
得
，，的一个法向量为
，， .
的一个法向量为
，即
，
为锐角，
由题意知二面角所以二面角
的余弦值为.
【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体
几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
19. 伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50人，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表：
（1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的“使用手机支付”与人的年龄有关；
列联表，并判断是否有
的把握认为
（2）若从年龄在机支付”的人数为.
，内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用手
①求随机变量的分布列； ②求随机变量的数学期望. 参考数据如下：
参考格式：
，其中
0.05 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 【答案】(1)见解析;(2)①见解析.②见解析. 【解析】试题分析：（1）根据表格中数据可完成
列联表，利用公式：
求得
，
与邻界值比较，即可得到结论；（2）①选中的人中“使用手机支付”的人数为的可能取值为利用组
合知识，根据古典概型概率公式公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列；②由①利用期望公式可得的数学期望. 试题解析：（1）
列联表如下：