第二章 参数方程
参数方程化为普通方程
01两种不同形式，02直参数方程和普通方程是曲线方程的□普通方程用代数式□03借助于参数间接地反映点的坐标之间接表示点的坐标之间的关系；参数方程是□的关系．两者之间可以互化，将参数方程化成普通方程的常用方法有：
(1)代数法消去参数
4解出参数，然后把参数的表达式①代入法：从参数方程中选出一个方程，0□05代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程． □②代数运算法：通过乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形，06代数运算，然后把参数方程中的两个方程进行□消去参数，得到曲线的普通方程．
(2)利用三角恒等式消去参数
07三角如果参数方程中的x，y都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用□函数公式中的恒等式消去参数，得到曲线的普通方程．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)将参数方程化为普通方程的实质是消参法的应用．( )
(2)将普通方程化为参数方程时，选取的参数不同，同一条曲线的参数方程会有不同的形式．( )
?x＝3＋cosθ，
(3)?(θ为参数)化成普通方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1．( ) ?y＝2－sinθ?x＝2cost，(4)?(t为参数，π≤t≤2π)化成普通方程为x2＋y2＝4．( ) ?y＝2sint答案 (1)√ (2)√
?cosθ＝x－3，
(3)√ 由已知?由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1，可知(x－3)2
?sinθ＝2－y＋(y－2)2＝1，这就是它的普通方程．
(4)× ∵π≤t≤2π， ∴－2≤x≤2，－2≤y≤0，
∴普通方程是x2＋y2＝4(－2≤x≤2，－2≤y≤0)． 2．做一做
2
?x＝cosθ，
(1)参数方程?(θ为参数)表示的曲线是( ) 2
?y＝sinθ
A．直线 B．圆 C．线段 D．射线 答案 C
解析 x＝cos2θ∈[0，1]，y＝sin2θ∈[0，1]， ∴x＋y＝1，(x∈[0，1])为线段．
2
?x＝2＋sinθ，
(2)将参数方程?(θ为参数)化为普通方程为( ) 2
y＝sinθ?
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1) 答案 C
解析 代入法，将方程化为y＝x－2，但x∈[2，3]，y∈[0，1]，故选C． ?x＝sinθ，
(3)参数方程?(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________．
?y＝cos2θ答案 y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)
解析 由于cos2θ＝1－2sin2θ，故y＝1－2x2， 即y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)． 1x＝t＋??t，
(4)将参数方程?12
y＝t＋??t2答案 x2－y＝2(y≥2)
1?1?解析 y＝t2＋t2＝?t＋t?2－2＝x2－2．
??
1
又y＝t2＋t2≥2，故所求普通方程为x2－y＝2(y≥2)．
探究1 把参数方程化为普通方程
例1 将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线．
(t为参数)化为普通方程为________．
?x＝1－3t，(1)?(t为参数)；
y＝4t?
?x＝1＋4cost，(2)?(t为参数，0≤t≤π)；
y＝－2＋4sint?
2
?x＝2＋sinθ，(3)?(θ为参数)．
y＝－1＋cos2θ?
1－x
解 (1)由已知t＝3，代入y＝4t中，得4x＋3y－4＝0，它就是所求的普通方程，它表示的是一条直线．
(2)∵0≤t≤π，－1≤cost≤1，0≤sint≤1． ∴－3≤x≤5，－2≤y≤2，
(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2t＋16sin2t＝16． ∴(x－1)2＋(y＋2)2＝16(－3≤x≤5，－2≤y≤2)， 它表示的曲线是以(1，－2)为圆心，半径为4的上半圆．
(3)由y＝－1＋cos2θ可得y＝－2sin2θ，把sin2θ＝x－2代入y＝－2sin2θ可得y＝－2(x－2)，即2x＋y－4＝0，
又∵2≤x＝2＋sin2θ≤3，∴所求的方程是2x＋y－4＝0(2≤x≤3)，它表示的是一条线段．
(1)将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，常用的消元法有代入消元法、加减消元法．如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前做必要的变形．另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin2α＋cos2α＝1，(ex
2
1－k??2?2k?2－x2－x2x
＋e)－(e－e)＝4，?2?＝1等． 2?＋?
?1＋k??1＋k?
(2)把普通方程化成参数方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们在解题时一定要验证普通方程与参数方程的等价性．
【跟踪训练1】 将下列参数方程化为普通方程：
?x＝t＋1，(1)?(t为参数)； ?y＝1－2t?x＝5cosθ，(2)?(θ为参数)．
y＝4sinθ－1?
解 (1)由x＝t＋1≥1，有t＝x－1，代入y＝1－2t， 得y＝－2x＋3(x≥1)，这是以(1，1)为端点的一条射线． ?x＝5cosθ，(2)由?
?y＝4sinθ－1
x
?cosθ＝?5， ①得?y＋1??sinθ＝4， ②
2
x2?y＋1?
①＋②得25＋16＝1．
2
2
探究2 把曲线的普通方程化为参数方程
例2 根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程． ?x－1?2?y－2?2
(1)3＋5＝1，x＝3cosθ＋1(θ为参数)； (2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1(t为参数)．
?x－1?2?y－2?2
解 (1)将x＝3cosθ＋1代入3＋5＝1，得y＝2＋5sinθ． ?x＝3cosθ＋1，∴?(θ为参数)． ?y＝5sinθ＋2这就是所求的参数方程．
(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0，得 y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1． ?x＝t＋1，∴?(t为参数)． 2
?y＝t＋3t＋1这就是所求的参数方程．