第三章 函数的应用 §3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数,理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理.
1.函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系
2
函数图象 Δ=0 ____个 ____个 判别式 与x轴交点个数 方程的根 Δ>0 ____个 ____个 Δ<0 ____个 无解
2.函数的零点
对于函数y=f(x),我们把________________叫做函数y=f(x)的零点.
3.方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)=0__________?函数y=f(x)的图象______________?函数y=f(x)__________.
4.函数零点的存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是________的一条曲线,并且有____________,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内________,即存在c∈(a,b),使得__________,这个c也就是方程f(x)=0的根.
归纳总结:
1.方程的根与方程所对应函数的零点的关系
(1)函数的零点是一个实数,当自变量取该值时,其函数值等于零.
(2)根据函数零点定义可知,函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程f(x)=0是否有实根,有几个实根. (3)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象交点的横坐标.
1
2.并不是所有的函数都有零点,如函数y=.
x3.对于任意的一个函数,即使它的图象是连续不断的,当它通过零点时,函数值也不
2
一定变号.如函数y=x有零点x0=0,但显然当它通过零点时函数值没有变号.
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一、选择题
1.二次函数y=ax2+bx+c中,a·c<0,则函数的零点个数是( ) A.0个 B.1个
C.2个 D.无法确定
2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,则下列说法正确的是( )
A.若f(a)f(b)>0,不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0
B.若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0 C.若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0 D.若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0
3.若函数f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点为2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是( )
11
A.0,- B.0,
22
1
C.0,2 D.2,- 2
4.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
2??x+2x-3, x≤0,
5.函数f(x)=?零点的个数为( )
?-2+ln x, x>0?
A.0 B.1 C.2 D.3
6.已知函数y=ax+bx+cx+d的图象如图所示,则实数b的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(0,1) C.(1,2)
D.(2,+∞)
题 号 1 2 3 4 5 6 答 案
二、填空题
7.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数有______个零点,这几个零点的和等于______.
8.函数f(x)=ln x-x+2的零点个数为________.
9.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为________.
x 0 1 2 3 -1 xe 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 x+2
3
2
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三、解答题
10.证明:方程x4-4x-2=0在区间[-1,2]内至少有两个实数解.
11.关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围.
能力提升
2??x+bx+c,x≤0,
12.设函数f(x)=?若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则方程f(x)=x的
?2, x>0,?
解的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
13.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求k的取值范围.
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