本节通过讨论任意截面正应力与切应力的关系，建立三向应力圆概念，并且通过应力圆确定一点的最大正应力和切应力。
分析中应用任意斜截面上的应力矢量可以通过应力分量的特殊形式－主应力表达，也可以分解为正应力和切应力，建立主应力与正应力和切应力的关系。考虑斜截面法线的三个方向余弦，则可以确定一点的正应力、切应力与三个主应力的关系。
构造一个以正应力为横轴，切应力为竖轴的应力平面，则一点的正应力和切应力位于应力平面的三个由主应力确定的应力圆之内。
为了进一步探讨应力状态，最后分析八面体单元应力。 学习要点：
1、截面正应力与切应力；2、斜截面方向余弦；3、三向应力圆；4、最大切应力；5、八面体单元；6、八面体单元应力。
1、截面正应力与切应力
一点的应力状态可以通过六个应力分量确定，主应力和应力主轴是描述应力状态的重要参数。但仅仅这些，对于应力状态分析还不够，本节将进一步讨论任意斜截面的正应力和切应力的变化。
以三个相互垂直的应力主轴为坐标轴建立坐标系如图所示，设三个主应力为应力分量为??1，??2, ??3，，即
O点附近有任意斜截面ABC，它的法线方向为n（l，m，n）。斜截面上的应力矢量pn可分解为两部
分：沿法线方向的正应力??n 和沿切线方向的切应力
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??n，如图所示
根据应力矢量与应力分量的关系
展开可得
因为
根据应力转轴公式
还有
2、斜截面方向余弦
关于l，m，n联立求解上述公式，可以得到
当斜截面方位变更时，法线的方向余弦n 随着改变，因此正应力??n和切应力??n也随之变化。这里有正应力??n和切应力??n 两个变量，如果建立一个平面坐标系，以??n为横轴，??n为纵轴，则斜截面上的两个应力分量（??n，??n）恰好是这个坐标系中的一个点。如图所示
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设?1≥??2≥??3，则因为l2 ,m2 ,n2均大于或等于零，因此根据上述公式的第一式，可以得到
3、三向应力圆
上式可以改写为
上述不等式表示在应力平面上，圆心在横轴，横坐标为（??2+??3）/2，半径为（??2-??3）/2的圆C1圆周及其以外的区域。
同理考虑公式的第二式，可得
它表达了圆C2的圆周及其内部区域。 对于公式的第三式，可得
它表达了圆C3圆周及其外部区域。
综上所述，斜截面的方位改变时，截面上的正应力和切应力（??n ，??n ）只能位于圆C1，C2和C3的圆周所围成的区域之内。
这三个圆C1，C2和C3是两两相切的，称为应力圆 。
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4、最大切应力
根据应力圆，对于一点的应力状态，不难得到下列结论：
根据应力圆，纵坐标最大处即最大切应力的值，它的横坐标为(??1+?3)/2，将它们回代到公式，可得最大切应力作用平面的方向余弦为
l2 = 0.5, m2 = 0, n2 = 0.5
m=0表示最大切应力作用面的法线与应力主轴2相互垂直，因此这一作用面必然通过应力主轴2。l2 = 0,n2 = 0.5 说明最大切应力作用面的法线与应力主轴1和3都成45°角。
根据上述分析，弹性体内任意一点的最大正应力为?1，最小正应力为??3。 最大切应力可以通过主应力计算，最大切应力等于(??1－??3)/2。
最大切应力作用平面也可以通过应力主轴得到，其作用平面通过? 2 应力主轴，并且与? 1和? 3应力主轴交45°角，如图所示。
5、八面体单元
下面介绍正八面体单元应力。 以主应力?
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1,?? 2,?? 3
对应的应力主轴作为x1，x2，x3坐标轴建立坐标系，
选取与三个应力主轴等倾的八个微分面构成一个单元体，如图所示
由于单元体的每一个微分面均为等倾面，即其法线与三个坐标轴的夹角相同。设微分面的法线方向余弦为l，m，n，则 由于 所以
对于八面体单元各微分面上的应力矢量，我们将其分为正应力??8和切应力??8两部分分别讨论。
对于八面体单元的正应力，由公式可得
由上式可知，??8就是某点的平均正应力。 6、八面体单元应力
对于八面体单元的切应力 因为
???8，可以应用应力分解公式
所以
显然，八面体单元的切应力是可以通过应力不变量表达的，因此也是不变量。根据强度理论，第四强度理论的等效应力为
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